Cho \(S = 5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6} + ... + {5^{2004}}.\) Chứng minh rằng \(S\,\, \vdots

Câu hỏi số 362449:

Vận dụng

Cho \(S = 5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6} + ... + {5^{2004}}.\) Chứng minh rằng \(S\,\, \vdots \,\,126.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362449

Phương pháp giải

Dựa vào công thức tính số số hạng của tổng dãy số tự nhiên liên tiếp: \(SSH = \frac{{So.cuoi - So.dau}}{{Khoang.cach}} + 1.\)

Và tính chất chia hết của một tổng, tích:

\( + )\,\,\,a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( + )\,\,\left. \begin{array}{l}a\,\, \vdots \,\,m\\b\,\, \vdots \,\,m\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {a \pm b} \right)\,\, \vdots \,\,m\)

Giải chi tiết

\(S\) có số số hạng là: \(\frac{{2004 - 1}}{1} + 1 = 2004\) (số).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}\\ = \left( {5 + {5^4}} \right) + \left( {{5^2} + {5^5}} \right) + \left( {{5^3} + {5^6}} \right)\\ = 5\left( {1 + {5^3}} \right) + {5^2}\left( {1 + {5^3}} \right) + {5^3}\left( {1 + {5^3}} \right)\\ = 5.126 + {5^2}.126 + {5^3}.126\\ = 216\left( {5 + {5^2} + {5^3}} \right)\\ \Rightarrow 5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}\,\, \vdots \,\,\,126\\S = 5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6} + ... + {5^{2004}}\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}} \right) + ... + \left( {{5^{1999}} + {5^{2000}} + {5^{2001}} + {5^{2002}} + {5^{2003}} + {5^{2004}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}} \right) + ... + {5^{1998}}\left( {5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}} \right)\left( {1 + ... + {5^{1998}}} \right)\,\,\end{array}\)

Vì \(5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6}\,\, \vdots \,\,126\)

\( \Rightarrow S\,\, \vdots \,\,126\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link