1) Cho biểu thức \(P = ab\left( {a + b} \right) + 2,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Chứng minh nếu

Câu hỏi số 362883:

Vận dụng

1) Cho biểu thức \(P = ab\left( {a + b} \right) + 2,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Chứng minh nếu giá trị của biểu thức \(P\) chia hết cho \(3\) thì \(P\) chia hết cho \(9.\)

2) Tìm tất cả các số tự nhiên \(x\) để giá trị của biểu thức \(P = {x^3} + 3{x^2} + x + 3\) là lũy thừa của một số nguyên tố.

A. \(2)\,\,x = 1,\,\,x = 2\)

B. \(2)\,\,x = 1,\,\,x = 3\)

C. \(2)\,\,x = 2,\,\,x = 3\)

D. \(2)\,\,x = 2,\,\,x = 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362883

Phương pháp giải

1) Sử dụng tính chất chia hết.

2) Sử dụng tính chất của lũy thừa và số nguyên tố.

Giải chi tiết

1) Cho biểu thức \(P = ab\left( {a + b} \right) + 2,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Chứng minh nếu giá trị của biểu thức \(P\) chia hết cho \(3\) thì \(P\) chia hết cho \(9.\)

Theo đề bài ta có: \(P\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow ab\left( {a + b} \right)\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow a,\,\,b\) không chia hết cho \(3.\)

+) TH1: \(a,\,\,b\) có số dư khác nhau khi chia cho \(3.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\) chia \(3\) dư \(1\) và \(b\) chia \(3\) dư \(2.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3{k_1} + 1\\b = 3{k_2} + 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {{k_1},\,\,{k_2} \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {3{k_1} + 1 + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 3} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {{k_1} + {k_2} + 1} \right) + 2\end{array}\)

Ta có:\(3\left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {{k_1} + {k_2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow P\) không chia hết cho \(3.\)

+) TH2: \(a,\,\,b\) có cùng số dư khi chia cho \(3.\)

Với \(a,\,\,b\) chia \(3\) dư \(1.\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3{k_1} + 1\\b = 3{k_2} + 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {{k_1},\,\,{k_2} \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 1} \right)\left( {3{k_1} + 1 + 3{k_2} + 1} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 3{k_1} + 3{k_2} + 1} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 3{k_1} + 3{k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + \left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {3{k_1}{k_2} + {k_1} + {k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 3\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 4.\end{array}\)

Vì \(3\left( {3{k_1}{k_2} + {k_1} + {k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 3\left( {{k_1} + {k_2}} \right)\,\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow P\) không chia hết cho \(3.\)

Với \(a,\,\,b\) chia \(3\) dư \(2.\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3{k_1} + 2\\b = 3{k_2} + 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {{k_1},\,\,{k_2} \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left( {3{k_1} + 2} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {3{k_1} + 2 + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 6{k_1} + 6{k_2} + 4} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 6{k_1} + 6{k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 4\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 3\left( {4{k_1} + 4{k_2}} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 12\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right) + 12\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 12\left( {3{k_1}{k_2} + 3{k_1} + 3{k_2}} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 36\left( {{k_1}{k_2} + {k_1} + {k_2}} \right) + 18\end{array}\)

\( \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,\,9\) và \(P\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy nếu \(P\,\, \vdots \,\,\,3\) thì \(P\,\, \vdots \,\,9.\)

2) Tìm tất cả các số tự nhiên \(x\) để giá trị của biểu thức \(P = {x^3} + 3{x^2} + x + 3\) là lũy thừa của một số nguyên tố.

Với \(x = 1 \Rightarrow P = 1 + 3 + 1 + 3 = 8 = {2^3}\)

\( \Rightarrow P\) là lũy thừa của một số nguyên tố.

Xét với \(x \ge 2\) ta có: \({x^3} + 3{x^2} + x + 3 = {x^2}\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) = {m^k}\) với \(m\) là số nguyên tố.

Khi đó ta đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {m^a}\\{x^2} + 1 = {m^b}\end{array} \right.,\,\,\,\left( {a;\,\,b;\,\,k \in {\mathbb{Z}^ + };\,\,\,k = a + b} \right).\)

Ta có: \(x \ge 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 5\\{x^2} + 1 \ge x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge x + 3 \ge 5 \Rightarrow a \le b.\)

\( \Rightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} - 9 + 10}}{{x + 3}} = x - 3 + \frac{{10}}{{x + 3}} = {p^{b - a}} \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 10\,\, \vdots \,\,x + 3 \Rightarrow x + 3 \in U\left( {10} \right) = \left\{ {5;\,\,10} \right\}\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x + 3 \ge 5} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 5\\x + 3 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Thử lại:

+) Với \(x = 2 \Rightarrow P = {2^3} + {3.2^2} + 2 + 3 = 25 = {5^2}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

+) Với \(x = 7 \Rightarrow P = {7^3} + {3.7^2} + 7 + 3 = 500\,\,\left( {ktm} \right).\)

Vậy \(x = 1,\,\,x = 2\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link