Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\) 1) Chứng minh

Câu hỏi số 362884:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\)

1) Chứng minh \(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1.\)

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{c^2} + {a^2}} \right)} + 4}}.\)

A. \(2)\,\,Max\,\,P = \frac{1}{4}.\)

B. \(2)\,\,Max\,\,P = \frac{1}{3}.\)

C. \(2)\,\,Max\,\,P = \frac{1}{2}.\)

D. \(2)\,\,Max\,\,P = 1.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362884

Phương pháp giải

1) Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

2) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} ;\,\,\,\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\)

Giải chi tiết

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\)

1) Chứng minh \(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)\\ \Leftrightarrow bc + 2\left( {b + c} \right) + 4 + ac + 2\left( {a + c} \right) + 4 + ab + 2\left( {a + b} \right) + 4 = \left[ {ab + 2\left( {a + b} \right) + 4} \right]\left( {c + 2} \right)\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca + 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = abc + 2ab + 2c\left( {a + b} \right) + 4\left( {a + b} \right) + 4c + 8\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca + 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = abc + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) + 8\\ \Leftrightarrow abc + ab + bc + ca = 4\,\,\,\left( {luon\,\,\,dung} \right).\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{c^2} + {a^2}} \right)} + 4}}.\)

Áp dụng các bất đẳng thức Cô-si với các số \(x,\,\,y\) dương ta có: \(x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} ;\,\,\,\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} \le \frac{1}{{a + b + 4}} = \frac{1}{{a + 2 + b + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}}} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} \le \frac{1}{{b + c + 4}} = \frac{1}{{b + 2 + c + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)} + 4}} \le \frac{1}{{a + c + 4}} = \frac{1}{{a + 2 + c + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right)\\ \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)} + 4}}\\ \le \frac{1}{4}.2\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\ab + bc + ca + abc = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy với \(a = b = c = 1\) thì \(Max\,\,P = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link