Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\) 1) Chứng minh

Câu hỏi số 362884:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\)

1) Chứng minh \(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1.\)

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{c^2} + {a^2}} \right)} + 4}}.\)

A. \(2)\,\,Max\,\,P = \frac{1}{4}.\)

B. \(2)\,\,Max\,\,P = \frac{1}{3}.\)

C. \(2)\,\,Max\,\,P = \frac{1}{2}.\)

D. \(2)\,\,Max\,\,P = 1.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362884

Phương pháp giải

1) Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

2) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} ;\,\,\,\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\)

Giải chi tiết

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\)

1) Chứng minh \(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)\\ \Leftrightarrow bc + 2\left( {b + c} \right) + 4 + ac + 2\left( {a + c} \right) + 4 + ab + 2\left( {a + b} \right) + 4 = \left[ {ab + 2\left( {a + b} \right) + 4} \right]\left( {c + 2} \right)\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca + 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = abc + 2ab + 2c\left( {a + b} \right) + 4\left( {a + b} \right) + 4c + 8\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca + 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = abc + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) + 8\\ \Leftrightarrow abc + ab + bc + ca = 4\,\,\,\left( {luon\,\,\,dung} \right).\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{c^2} + {a^2}} \right)} + 4}}.\)

Áp dụng các bất đẳng thức Cô-si với các số \(x,\,\,y\) dương ta có: \(x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} ;\,\,\,\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} \le \frac{1}{{a + b + 4}} = \frac{1}{{a + 2 + b + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}}} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} \le \frac{1}{{b + c + 4}} = \frac{1}{{b + 2 + c + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)} + 4}} \le \frac{1}{{a + c + 4}} = \frac{1}{{a + 2 + c + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right)\\ \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)} + 4}}\\ \le \frac{1}{4}.2\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\ab + bc + ca + abc = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy với \(a = b = c = 1\) thì \(Max\,\,P = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link