Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right),\) nội tiếp đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 362885:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right),\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Hai đường cao \(BD\) và \(CE\) của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại \(H.\) Đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường tròn đường kính \(AH\) tại điểm thứ hai là \(F\,\,\,\left( {F \ne A} \right).\)

1) Chứng minh \(\Delta BEF \sim \Delta CDF.\)

2) Gọi \(N\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\) và đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(FN\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(K.\) Chứng minh tia \(HK\) là tia phân giác của \(\angle BHC.\)

3) Hai tia phân giác của \(\angle ABH\) và \(\angle ACH\) cắt nhau tại điểm \(I.\) Gọi \(P\) là giao điểm của đoạn thẳng \(ON\) và cạnh \(BC.\) Gọi \(Q\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH.\) Chứng minh \(P,\,\,I,\,\,Q\) là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:362885

Phương pháp giải

1) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

2) Chứng minh các tam giác tương ứng đồng dạng sau đó suy ra tỉ lệ các cạnh tương ứng \( \Rightarrow HK\) là phân giác của \(\angle BHC.\)

Giải chi tiết

1) Chứng minh \(\Delta BEF \sim \Delta CDF.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có \(\angle EBF = \angle DCF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\)).

Xét đường tròn đường kính \(AH\) ta có: \(\angle AEF = \angle ADF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AF\))

Lại có:\(\left\{ \begin{array}{l}\angle BEF + \angle AEF = {180^0}\\\angle FDC + \angle ADF = {180^0}\end{array} \right.\) (các góc kề bù)

\( \Rightarrow \angle BEF = \angle FDC\,\,\) (tính chất bắc cầu).

Xét \(\Delta BEF\) và \(\Delta CDF\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle EBF = \angle DCF\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle BEF = \angle CDF\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BEF \sim \Delta CDF\,\,\,\left( {g - g} \right).\end{array}\)

2) Gọi \(N\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\) và đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(FN\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(K.\) Chứng minh tia \(HK\) là tia phân giác của \(\angle BHC.\)

Ta có: \(\Delta BEF \sim \Delta CDF\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{BE}}{{CD}} = \frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{EF}}{{DF}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(N\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC \Rightarrow cung\,\,BN = cung\,\,NC.\)

\( \Rightarrow \angle BFN = \angle NFC\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

\( \Rightarrow KF\) là đường phân giác của \(\angle BFC.\)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BK}}{{BF}} = \frac{{KC}}{{FC}} \Leftrightarrow \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BF}}{{FC}}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta CHD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BEH = \angle CDH = {90^0}\\\angle BHE = \angle CHD\,\,\left( {doi\,\,dinh} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHE \sim \Delta CHD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{BE}}{{CD}} = \frac{{HE}}{{HD}}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: \(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BH}}{{HC}}\,\,\,\left( { = \frac{{BE}}{{CD}}} \right).\)

Lại có \(K \in BC \Rightarrow HK\) là phân giác của \(\angle BHC.\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)

3) Hai tia phân giác của \(\angle ABH\) và \(\angle ACH\) cắt nhau tại điểm \(I.\) Gọi \(P\) là giao điểm của đoạn thẳng \(ON\) và cạnh \(BC.\) Gọi \(Q\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH.\) Chứng minh \(P,\,\,I,\,\,Q\) là ba điểm thẳng hàng.

Ta có: \(BI,\,\,CI\) lần lượt là các tia phân giác của \(\angle ABH\) và \(\angle ACH\)

Lại có:\(\angle ABH = \angle ACH\) (cùng phụ với \(\angle BAC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle IBC + \angle ICB = \angle ABC - \angle IBA + \angle ACB - \angle ACI\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \angle BAC - \frac{{\angle ABH}}{2} - \frac{{\angle ACH}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \angle BAC - \angle ABD = {90^0}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BIC = {90^0}.\)

Lại có: \(\angle BEC = \angle BDC = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow 5\) điểm \(B,\,\,E,\,\,I,\,\,D,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\)

Mặt khác \(BI\) là tia phân giác của \(\angle ABH \Rightarrow cung\,\,IE = cung\,\,ID \Rightarrow IE = ID\) (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Ta có:\(A,\,\,E,\,\,H,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH,\,\,\,Q\) là trung điểm của \(AH \Rightarrow QE = QD.\)

Vì \(ON\) là đường trung trực của \(BC \Rightarrow P\) là trung điểm của \(BC.\)

\( \Rightarrow PE = PD.\)

\( \Rightarrow P,\,\,I,\,\,Q\) cùng thuộc đường trung trực của \(DE\) hay \(P,\,\,I,\,\,Q\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link