Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2}
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\) nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R.\) Tính \(R?\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Biến đổi đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) theo \(MI\) với \(I\) là điểm thoả mãn \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(BC\)
Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 ,\)nên điểm \(I\) thuộc \(AN\) sao cho \(IN = 2IA.\)
Khi đó: \(IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{12}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{6} \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\frac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\frac{{7{a^2}}}{{12}} = 5.\frac{{{a^2}}}{{12}} \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
