Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2}
Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a.\) Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\) nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R.\) Tính \(R?\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Biến đổi đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) theo \(MI\) với \(I\) là điểm thoả mãn \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(BC\)
Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 ,\)nên điểm \(I\) thuộc \(AN\) sao cho \(IN = 2IA.\)
Khi đó: \(IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{12}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{6} \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\frac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\frac{{7{a^2}}}{{12}} = 5.\frac{{{a^2}}}{{12}} \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
