Chứng minh rằng: Nếu \({2^n} = 10a + b\) với \(a,b \in N;0 < b < 10;n > 3\) thì \(ab\,\, \vdots

Câu hỏi số 365058:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: Nếu \({2^n} = 10a + b\) với \(a,b \in N;0 < b < 10;n > 3\) thì \(ab\,\, \vdots \,\,6.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365058

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất về chữa số tận cùng của 1 lũy thừa

+) Các số có chữ số tận cùng là 6 khi nâng lên lũy thừa bậ bất kì vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.

Giải chi tiết

Vì \({2^n} = 10a + b,\,\,\,0 < b < 10\) nên \({2^n}\) có tận cùng là \(b.\)

Đặt \(n = 4k + r\left( {k,r \in N,k > 0,0 \le r \le 3} \right)\) thì \({2^n} = {2^{4k + r}} = {16^k}{.2^r}\)

+) Nếu \(r = 0 \Rightarrow {2^n} = {16^k}\) có tận cùng là \(6\)

\( \Rightarrow b = 6 \Rightarrow ab \vdots 6\)

+) Nếu \(1 \le r \le 3 \Rightarrow {2^n} - {2^r} = {2^r}\left( {{{16}^k} - 1} \right)\) tận cùng là \(0\) (vì \({16^k} - 1\) tận cùng là \(5\))

\(\Rightarrow 2^n\) có tận cùng là \(2^r \Rightarrow b = 2^r\)

Từ đó:

\(\begin{array}{l}10a = {2^n} - {2^r} = {2^r}\left( {{{16}^k} - 1} \right) \vdots \left( {16 - 1} \right)\\ \Rightarrow 10a \vdots 3 \Rightarrow a \vdots 3\end{array}\)

Mặt khác: \({2^n} = 10a + b \Rightarrow b \vdots 2 \Rightarrow ab \vdots 6\)

Vậy ta luôn có \(ab\,\, \vdots \,\,6\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link