Chứng minh rằng: Nếu \({2^n} = 10a + b\) với \(a,b \in N;0 < b < 10;n > 3\) thì \(ab\,\, \vdots

Câu hỏi số 365058:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: Nếu \({2^n} = 10a + b\) với \(a,b \in N;0 < b < 10;n > 3\) thì \(ab\,\, \vdots \,\,6.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365058

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất về chữa số tận cùng của 1 lũy thừa

+) Các số có chữ số tận cùng là 6 khi nâng lên lũy thừa bậ bất kì vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.

Giải chi tiết

Vì \({2^n} = 10a + b,\,\,\,0 < b < 10\) nên \({2^n}\) có tận cùng là \(b.\)

Đặt \(n = 4k + r\left( {k,r \in N,k > 0,0 \le r \le 3} \right)\) thì \({2^n} = {2^{4k + r}} = {16^k}{.2^r}\)

+) Nếu \(r = 0 \Rightarrow {2^n} = {16^k}\) có tận cùng là \(6\)

\( \Rightarrow b = 6 \Rightarrow ab \vdots 6\)

+) Nếu \(1 \le r \le 3 \Rightarrow {2^n} - {2^r} = {2^r}\left( {{{16}^k} - 1} \right)\) tận cùng là \(0\) (vì \({16^k} - 1\) tận cùng là \(5\))

\(\Rightarrow 2^n\) có tận cùng là \(2^r \Rightarrow b = 2^r\)

Từ đó:

\(\begin{array}{l}10a = {2^n} - {2^r} = {2^r}\left( {{{16}^k} - 1} \right) \vdots \left( {16 - 1} \right)\\ \Rightarrow 10a \vdots 3 \Rightarrow a \vdots 3\end{array}\)

Mặt khác: \({2^n} = 10a + b \Rightarrow b \vdots 2 \Rightarrow ab \vdots 6\)

Vậy ta luôn có \(ab\,\, \vdots \,\,6\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link