Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {4;1} \right),\overrightarrow v = \left( {1;4} \right).\) Tìm \(m\) để vecto \(\overrightarrow a = m.\overrightarrow u + \overrightarrow v \) tạo với \(\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}.\)

Câu 365386: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {4;1} \right),\overrightarrow v = \left( {1;4} \right).\) Tìm \(m\) để vecto \(\overrightarrow a = m.\overrightarrow u + \overrightarrow v \) tạo với \(\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}.\)

A. \(m = 4\)

B. \(m = \frac{{ - 1}}{2}\)

C. \(m = - \frac{1}{4}\)

D. \(m = \frac{1}{2}\)

Câu hỏi : 365386

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Đáp án : C
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow a = m.\overrightarrow u + \overrightarrow v = m\left( {4;\,\,1} \right) + \left( {1;\,\,4} \right) = \left( {4m + 1;\,\,m + 4} \right)}\\{\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;\,\,1} \right)}\end{array}} \right.\)

Yêu cầu bài toán thoả mãn \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 .\sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1 \ge 0}\\{25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\8{m^2} - 34m + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\\left[ \begin{array}{l}m =- \dfrac{1}{4}\\m = -4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.