Xác định \(m < 0\) để \(f\left( x \right) = - {x^4} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 2m - 1 = 0\) có bốn

Câu hỏi số 365670:

Vận dụng

Xác định \(m < 0\) để \(f\left( x \right) = - {x^4} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 2m - 1 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt \({x_1} < \,{x_2} < {x_3} < {x_4}\) sao cho \({x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1}.\)

A. \(m = - 1\)

B. \(m = - 2\)

C. \(m = - \frac{4}{9}\)

D. \(m = - \frac{8}{9}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365670

Phương pháp giải

Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

+) Phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai.

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm \(x\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {x^2}\,\,\,\left( {t \ge 0} \right),\,\,\)khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left[ {t - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = 0 \Leftrightarrow {\left[ {t - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} = {m^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - \left( {m + 1} \right) = m\\t - \left( {m + 1} \right) = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2m + 1\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt thì \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1},\) ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(2m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0.\) Khi đó nghiệm của \(\left( 1 \right)\) theo thứ tự là

\(\begin{array}{l} - \sqrt {2m + 1} , - 1,\,\,\,1,\,\,\,\,\sqrt {2m + 1} \Rightarrow {x_3} - {x_2} = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow {x_4} - {x_3} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} - 1 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} = 3 \Leftrightarrow 2m + 1 = 9 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

TH2: \(0 < 2m + 1 < 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 0.\) Khi đó, nghiệm của \(\left( 1 \right)\) theo thứ tự sẽ là \(\begin{array}{l} - 1, - \sqrt {2m + 1} ,\sqrt {2m + 1} ,\,\,1 \Rightarrow 1 - \sqrt {2m + 1} = \sqrt {2m + 1} + \sqrt {2m + 1} \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2m + 1} = 2\sqrt {2m + 1} \Leftrightarrow 3\sqrt {2m + 1} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 2m + 1 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow m = - \frac{4}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.