Xác định \(m < 0\) để \(f\left( x \right) = - {x^4} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 2m - 1 = 0\) có bốn

Câu hỏi số 365670:

Vận dụng

Xác định \(m < 0\) để \(f\left( x \right) = - {x^4} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - 2m - 1 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt \({x_1} < \,{x_2} < {x_3} < {x_4}\) sao cho \({x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1}.\)

A. \(m = - 1\)

B. \(m = - 2\)

C. \(m = - \frac{4}{9}\)

D. \(m = - \frac{8}{9}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365670

Phương pháp giải

Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

+) Phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai.

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm \(x\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {x^2}\,\,\,\left( {t \ge 0} \right),\,\,\)khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left[ {t - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = 0 \Leftrightarrow {\left[ {t - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} = {m^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - \left( {m + 1} \right) = m\\t - \left( {m + 1} \right) = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2m + 1\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt thì \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({x_4} - {x_3} = {x_3} - {x_2} = {x_2} - {x_1},\) ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(2m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0.\) Khi đó nghiệm của \(\left( 1 \right)\) theo thứ tự là

\(\begin{array}{l} - \sqrt {2m + 1} , - 1,\,\,\,1,\,\,\,\,\sqrt {2m + 1} \Rightarrow {x_3} - {x_2} = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Rightarrow {x_4} - {x_3} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} - 1 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} = 3 \Leftrightarrow 2m + 1 = 9 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

TH2: \(0 < 2m + 1 < 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 0.\) Khi đó, nghiệm của \(\left( 1 \right)\) theo thứ tự sẽ là \(\begin{array}{l} - 1, - \sqrt {2m + 1} ,\sqrt {2m + 1} ,\,\,1 \Rightarrow 1 - \sqrt {2m + 1} = \sqrt {2m + 1} + \sqrt {2m + 1} \\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2m + 1} = 2\sqrt {2m + 1} \Leftrightarrow 3\sqrt {2m + 1} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m + 1} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 2m + 1 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow m = - \frac{4}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10