Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\) đường cao \(AH.\) Cho \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5}\) và \(BC =

Câu hỏi số 366026:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\) đường cao \(AH.\) Cho \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5}\) và \(BC = 10\,cm.\)

a) Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,HC\) và tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{2\cos B - 3\sin B}}{{1 + \tan B}}.\)

b) Từ \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH\) tại \(D.\) Tính diện tích tứ giác \(ABDC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366026

Phương pháp giải

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

b) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình thang vuông sau đó sử dụng công thức tính diện tích hình thang.

Giải chi tiết

a) Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,HC\) và tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{2\cos B - 3\sin B}}{{1 + \tan B}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có: \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AB = \frac{3}{5}.10 = 6\,\,cm.\)

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{C^2} = HC.BC \Rightarrow HC = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\,\,cm.\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \angle B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5};\,\,\,\,\,\tan \angle B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\\ \Rightarrow M = \frac{{2\cos B - 3\sin B}}{{1 + \tan B}} = \frac{{2.\frac{3}{5} - 3.\frac{4}{5}}}{{1 + \frac{4}{3}}} = - \frac{{18}}{{35}}.\end{array}\)

b) Từ \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH\) tại \(D.\) Tính diện tích tứ giác \(ABDC.\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\CD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB//CD \Rightarrow ABDC\) là hình thang vuông tại \(A,\,\,C.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CH\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{C{H^2}}} - \frac{1}{{C{A^2}}} = \frac{1}{{6,{4^2}}} - \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{9}{{1024}}\\ \Rightarrow C{D^2} = \frac{{1024}}{9} \Rightarrow CD = \frac{{32}}{3}\,\,\,cm.\end{array}\)

Ta có diện tích hình thang \(ABDC\) là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AC}}{2} = \frac{{\left( {6 + \frac{{32}}{3}} \right).8}}{2} = \frac{{200}}{3}\,\,\,c{m^2}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link