Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua

Câu hỏi số 366025:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua điểm \(B.\) Trên tia đối của \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = 2HA.\) Gọi \(I\) là hình chiếu của \(D\) trên \(HE.\)

a) Tính độ dài \(AB,\,\,AC,\,\,HC\) biết \(AH = 4\,cm,\,\,BH = 3\,cm.\)

b) Tính \(\tan \angle IED,\,\,\tan \angle HCE.\)

c) Chứng minh \(\angle IED = \angle HCE.\)

d) Chứng minh \(DE \bot EC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366025

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh.

b) Tính tỉ số lượng giác các góc nhọn trong tam giác vuông.

c) Chứng minh \(\tan \angle IED=\tan \angle HCE\Rightarrow \angle IED=\angle HCE.\)

d) Chứng minh \(\angle DEC = {90^0}.\)

Giải chi tiết

a) Tính độ dài \(AB,\,\,AC,\,\,HC\) biết \(AH = 4\,cm,\,\,BH = 3\,cm.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^3}} = 5\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}} = \frac{9}{{400}} \Rightarrow AC = \frac{{20}}{3}\,\,cm.\\A{H^2} = BH.HC \Rightarrow HC = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{4^2}}}{3} = \frac{{16}}{3}\,\,cm.\end{array}\)

Vậy \(AB = 5cm,\,\,\,AC = \frac{{20}}{3}\,cm,\,\,\,HC = \frac{{16}}{3}\,cm.\)

b) Tính \(\tan \angle IED,\,\,\tan \angle HCE.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DI \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow BC//DI\,\,\,hay\,\,\,BH//DI.\)

Xét \(\Delta AID\) ta có: \(B\) là trung điểm của \(AD\) và \(BH//DI\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AI.\) (định lý đảo đường trung bình của tam giác)

Và \(BH = \frac{1}{2}DI \Rightarrow DI = 2BH = 2.3 = 6\,\,cm.\)

\( \Rightarrow AH = AI = IE = \frac{1}{3}AE = 5\,\,cm.\)

Xét \(\Delta DIE\) ta có: \(\tan \angle DEI = \frac{{DI}}{{IE}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.\)

Xét \(\Delta HCE\) ta có: \(\tan \angle HCE = \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{2AH}}{{HC}} = \frac{{2.4}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{3}{2}.\)

Vậy \(\tan \angle DEI = \frac{3}{2};\,\,\,\tan \angle HCE = \frac{3}{2}.\)

c) Chứng minh \(\angle IED = \angle HCE.\)

Ta có: \(\tan \angle IED = \tan \angle HCE = \frac{3}{2} \Rightarrow \angle IED = \angle HCE\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

d) Chứng minh \(DE \bot EC.\)

Xét \(\Delta HEC\) ta có: \(\angle HEC + \angle HCE = {90^0}\)

Mà \(\angle DEI = \angle HCE\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DEC = \angle CEI + HCE = {90^0}\\Hay\,\,\,DE \bot EC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link