Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz = 20\)

Câu hỏi số 366735:

Vận dụng

A. \(\left( {1;1;1} \right),\left( {1;2;3} \right)\) và các hoán vị của chúng.

B. \(\left( {2;2;2} \right),\left( {1;3;5} \right)\) và các hoán vị của chúng.

C. \(\left( {2;2;2} \right),\left( {1;2;3} \right)\) và các hoán vị của chúng.

D. \(\left( {1;1;1} \right),\left( {1;3;5} \right)\) và các hoán vị của chúng.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366735

Phương pháp giải

Vai trò của \(x,y,z\)như nhau. Ta giả sử \(1 \le x \le y \le z\). Sau đó đánh giá để tìm ra nghiệm.

Giải chi tiết

Do vai trò bình đẳng của \(x,y,z\) nên có thể giả sử \(1 \le x \le y \le z\). Từ đó:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz > 3{x^2} + {x^2} = 4{x^2} \Rightarrow 4{x^2} \le 20 \Rightarrow {x^2} \le 5 \Rightarrow x \le 2\)

Xét trường hợp sau

a) Với \(x = 1\)thì \({y^2} + {z^2} + yz = 19 \Rightarrow {y^2} + {y^2} + {y^2} \le 19 \Rightarrow {y^2} = \frac{{19}}{3} \Rightarrow y \le 2\)

+ Nếu \(y = 1 \Rightarrow {z^2} + z = 18 \Rightarrow z(z + 1) = 18:(4)\)Vô nghiệm

+ Nếu \(y = 2 \Rightarrow {z^2} + 2z - 15 = 0 \Rightarrow z = 3:(4)\)có nghiệm là \(\left( {1;2;3} \right)\)

b) Với \(x = 2\) ta có:

\(4 + {y^2} + {z^2} + 2yz = 20 \Rightarrow {y^2} + {z^2} + 2yz = 16 \Rightarrow {y^2} + {y^2} + 2{y^2} \le 16 \Rightarrow 4{y^2} \le 16 \Rightarrow y \le 2\)

Với \(y = 2 \Rightarrow {z^2} + 4z = 12 \Rightarrow z = 2 \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {2;2;2} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\left( {2;2;2} \right),\left( {1;2;3} \right)\) và các hoán vị của chúng.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link