Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,y = \left( {{m^2} + 1}

Câu hỏi số 366791:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,y = \left( {{m^2} + 1} \right)x - 2m\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,y = \left( {m + 3} \right)x - m - 2\) (\(m\) là tham số).

1. Tìm \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right).\)

2. Chứng minh: với mọi \(m\) đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định.

3. Tìm \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thỏa mãn \(A = 2020{x_M}\left( {{y_M} + 2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\begin{array}{l}1.\,\,m = - 1\\3.\,\,m = 1\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}1.\,\,m = 1\\3.\,\,m = - 1\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}1.\,\,m = 1\\3.\,\,m = 2\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}1.\,\,m = - 1\\3.\,\,m = - 3\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366791

Phương pháp giải

1. \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right.\)

2. Gọi \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \({d_2}\) luôn đi qua.

Biến đổi đưa phương trình đường thẳng \({d_2}\) có dạng: \(0m = 0\) để tìm \({x_0};\,\,{y_0} \Rightarrow M.\)

3. Tìm tọa độ điểm \(M\) theo \(m\) sau đó biến đổi và tìm \(m\) để \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

1. Tìm \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right).\)

Để \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right)\) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = m + 3\\ - 2m \ne - m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy \(m = - 1\) thì \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right)\).

2. Chứng minh: với mọi \(m\) đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua đi qua \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {y_0} = \left( {m + 3} \right){x_0} - m - 2\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m{x_0} + 3{x_0} - m - 2 - {y_0} = 0\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 1} \right) + 3{x_0} - 2 - {y_0} = 0\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\3{x_0} - 2 - {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\3.1 - 2 - {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 1\end{array} \right.\)

Vậy với mọi \(m\) đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) cố định.

3. Tìm \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thỏa mãn \(A = 2020{x_M}\left( {{y_M} + 2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):

\(\begin{array}{l}\left( {{m^2} + 1} \right)x - 2m = \left( {m + 3} \right)x - m - 2\\ \Leftrightarrow x\left( {{m^2} + 1 - m - 3} \right) = - m - 2 + 2m\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right)x = m - 2\end{array}\)

Để \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \({x_M} = \frac{1}{{m + 1}}\,\, \Rightarrow {y_M} = \left( {m + 3} \right).\frac{1}{{m + 1}} - m - 2\)

\( \Rightarrow {y_M} = = \frac{{m + 3 - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}} = \frac{{ - {m^2} - 2m + 1}}{{m + 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2020{x_M}\left( {{y_M} + 2} \right) = 2020.\frac{1}{{m + 1}}.\left( {\frac{{ - {m^2} - 2m + 1}}{{m + 1}} + 2} \right)\\\,\,\,\,\, = 2020.\frac{1}{{m + 1}}.\frac{{ - {m^2} - 2m + 1 + 2\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}}\\\,\,\,\,\, = 2020.\frac{1}{{m + 1}}.\frac{{ - {m^2} + 3}}{{m + 1}} = 2020.\frac{{3 - {m^3}}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = 1010.\frac{{ - 2{m^2} + 6}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 1010.\frac{{ - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 4m + 4 + 4}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = 1010.\frac{{ - 2{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 4\left( {m + 1} \right) + 4}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 1010.\left[ { - 2 + \frac{4}{{m + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right]\\\,\,\,\,\, = 1010.\left[ {{{\left( {\frac{2}{{m + 1}}} \right)}^2} + \frac{4}{{m + 1}} + 1 - 3} \right] = 1010.\left[ {{{\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)}^2} - 3} \right]\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\) thì \({\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)^2} \ge 0\,\, \Rightarrow A = 1010.\left[ {{{\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)}^2} - 3} \right] \ge - 3030\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 1}} + 1 = 0 \Leftrightarrow m + 1 = - 2 \Leftrightarrow m = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 3030\) khi \(m = - 3.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link