Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3.\) a) Chứng minh rằng: \(p\) có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k +

Câu hỏi số 367002:

Vận dụng

Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3.\)

a) Chứng minh rằng: \(p\) có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

b) Biết \(8p + 1\) cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: \(4p + 1\) là hợp số.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:367002

Phương pháp giải

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\) và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\) là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\) và \(a.\)

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Giải chi tiết

a) Mọi số tự nhiên lớn hơn \(3\) khi chia cho \(6\) chỉ có thể xảy ra một trong \(6\) trường hợp: dư \(0,\) dư \(1,\) dư \(2,\) dư \(3,\) dư \(4\) và dư \(5.\)

+) Nếu p chia \(6\) dư \(0\) thì \(p = 6k \Rightarrow p\) là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\) dư \(1\) thì \(p = 6k + 1.\)

+) Nếu p chia \(6\) dư \(2\) thì \(p = 6k + 2 = 2\left( {3k + 1} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(p\) là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\) dư \(3\) thì \(p = 6k + 3 = 3\left( {2k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên \(p\) là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\) dư \(4\) thì \(p = 6k + 4 = 2\left( {3k + 2} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(p\) là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\) dư \(5\) thì \(p = 6k + 5\)

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn \(3\) chia cho \(6\) chỉ có thể dư \(1\) hoặc dư \(5,\) tức là \(p = 6k + 1\) hoặc \(p = 6k + 5\)

b) Nếu \(p\) có dạng \(p = 6k + 1 \Rightarrow 8p + 1 = 8\left( {6k + 1} \right) + 1 = 48k + 9 = 3\left( {16k + 3} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên số này là hợp số.

\( \Rightarrow p\) không có dạng \(p = 6k + 1\) mà có dạng \(p = 6k + 5 \Rightarrow 4p + 1 = 4\left( {6k + 5} \right) + 1 = 24k + 21 = 3\left( {8k + 7} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là số này là hợp số.

Vậy \(4p + 1\) là hợp số (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link