Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên đường thẳng \(AB\) lấy điểm \(C\) sao

Câu hỏi số 368223:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên đường thẳng \(AB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(B\) nằm giữa \(A,C\). Kẻ tiếp tuyến \(CK\) với đường tròn \(\left( O \right)\,\,(K\) là tiếp điểm), tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(CK\) tại \(H\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(OH\) và \(AK,\,\,\,J\) là giao điểm của \(BH\) với đường tròn \(\left( O \right)\,\,(J\) không trùng với \(B\)).

a) Chứng minh \(AJ.HB = AH.AB\).

b) Chứng minh 4 điểm \(B,\,\,O,\,\,I,\,\,J\) cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt \(CH\) tại \(P\). Tính \(\frac{{AH}}{{HP}} - \frac{{HP}}{{CP}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368223

Phương pháp giải

a) Chứng minh các tam giác đồng dạng, từ đó chứng minh các đẳng thức.

b) Chứng minh tứ giác \(BOIJ\) là tứ giác nội tiếp dựa vào dấu hiệu nhận biết.

c) Chứng minh tam giác \(POH\) cân. Sử dụng định lí Ta-let và tính chất tam giác cân.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AJ.HB = AH.AB\).

Ta có \(\angle AJB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AJ \bot BJ \Rightarrow AJ \bot BH\);

\(AH\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A \Rightarrow AH \bot AB \Rightarrow \angle HAB = {90^0}\).

Xét tam giác \(ABJ\) và tam giác \(HBA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AJB = \angle HAB = {90^0};\\\angle ABH\,\,chung;\\ \Rightarrow \Delta ABJ \sim \Delta HBA \Leftrightarrow \frac{{AJ}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{HB}}\,\,\left( {g.g} \right) \Leftrightarrow AJ.HB = AH.AB\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Chứng minh 4 điểm \(B,\,\,O,\,\,I,\,\,J\) cùng nằm trên một đường tròn.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có \(HA = HK \Rightarrow H\) thuộc trung trực của \(AK\) .

Lại có \(OA = OK\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AK\).

Suy ra \(OH\) là trung trực của \(AK \Rightarrow OH \bot AK\) tại \(I \Rightarrow \angle AIH = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AIJH\) có: \(\angle AIH = \angle AJH = {90^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AIJH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle JIH = \angle JAH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(JH\)).

Mà \(\angle JAH = \angle JBA\) (cùng phụ với \(\angle JAB\));

\( \Rightarrow \angle JIH = \angle JBA = \angle JBO \Rightarrow \) Tứ giác \(OIJB\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) hay 4 điểm \(B,\,\,O,\,\,I,\,\,J\) cùng nằm trên một đường tròn.

c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại cắt \(CH\) tại \(P\). Tính \(\frac{{AH}}{{HP}} - \frac{{HP}}{{CP}}\).

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau có: \(\angle AHO = \angle OHP\).

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP \bot AB\\AH \bot AB\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OP//AH \Rightarrow \angle AHO = \angle POH\) (so le trong)

\( \Rightarrow \angle OHP = \angle POH \Rightarrow \Delta POH\) cân tại \(P \Rightarrow OP = HP\) (tính chất tam giác cân).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AH}}{{HP}} = \frac{{AH}}{{OP}} = \frac{{AC}}{{OC}};\,\,\frac{{HP}}{{CP}} = \frac{{AO}}{{OC}}\)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{HP}} - \frac{{HP}}{{CP}} = \frac{{AC}}{{OC}} - \frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OC}} = 1\).

Vậy \(\frac{{AH}}{{HP}} - \frac{{HP}}{{CP}} = 1\,\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link