Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(A\)

Câu hỏi số 368289:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) điểm \(I\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(O\,\,\left( {I \ne A,\,\,O} \right).\) Kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(I,\) đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) và \(N.\) Gọi \(S\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BM\) và \(AN,\) qua \(S\) kẻ đường thẳng song song với \(MN,\) đường thẳng này cắt các đường thẳng \(AB\) và \(AM\) lần lượt tại \(K\) và \(H.\)

1) Chứng minh rằng tứ giác \(SKAM\) nội tiếp.

2) Chứng minh rằng \(SA.SN = SB.SM\)

3) Chứng minh rằng \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

4) Chứng minh rằng 3 điểm \(H,\,\,B,\,\,N\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368289

Phương pháp giải

1) Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng mình tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng để suy ra đẳng thức cần chứng minh.

3) Chứng minh tiếp tuyến theo định nghĩa.

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng tứ giác \(SKAM\) nội tiếp.

Vì \(M \in \left( {O;\,\,AB} \right) \Rightarrow \angle AMB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \angle AMB = {90^0} \Rightarrow \angle SMA = {90^0}.\)

Vì \(SK\parallel MN\, \Rightarrow SK \bot AB \Rightarrow \angle SKA = {90^0}\)

Xét tứ giác \(SKAM\) có \(\angle SMA + \angle SKA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow SKAM\) nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

2) Chứng minh rằng \(SA.SN = SB.SM\)

Ta có: \(\angle ANB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \angle ANB = {90^0}\)

Xét \(\Delta SMA\)và \(\Delta SNB\)có:

\(\begin{array}{l}\angle NSB\,\,\,chung\\\angle SMA = \angle SNB\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta SMA \sim \Delta SNB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SA}}{{SB}} \Leftrightarrow SM.SB = SA.SN\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

3) Chứng minh rằng \(KM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

Xét \(\Delta SMH\)và\(\Delta SKB\)có:

\(\begin{array}{l}\angle HSB\,\,\,chung\\\angle SMH = \angle SKB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta SMH \sim \Delta SKB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SK}} = \frac{{SH}}{{SB}}\,\,\\ \Rightarrow \Delta SMK \sim \Delta SHB\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle SMK = \angle SHB.\end{array}\)

Vì \(SN\parallel MN\)(do cùng cuông góc với \(AB\))

\( \Rightarrow \angle BMN = \angle BSH\)(hai góc đồng vị)

Xét \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) có \(\angle MNB = \angle MAB\) (cùng chắn cung \(MB\) )

\(\Delta AMO\)cân tại \(O\) (vì có \(OM = OA\)) nên \(\angle AMO = \angle MAB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMO = \angle SMK\\ \Rightarrow \angle AMO + \angle KMH = \angle SMK + \angle KMH\\ \Rightarrow \angle SMH = \angle KMO = {90^0}\\ \Rightarrow KM \bot OM\end{array}\)

\( \Rightarrow KM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm).

4) Chứng minh rằng 3 điểm \(H,\,\,B,\,\,N\) thẳng hàng.

Theo câu 3 ta chứng minh được \(\frac{{SM}}{{SK}} = \frac{{SH}}{{SB}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SM.SB = SH.SK\\ \Rightarrow SH.SK = SA.SN\,\left( { = SM.SB} \right)\\ \Rightarrow \Delta SKA \sim \Delta SNH\\ \Rightarrow \angle SKA = \angle SNH = {90^0}\end{array}\)

Lại có \(\angle HNB = \angle HNS + \angle SNB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow H,\,\,N,\,\,B\) thẳng hàng (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link