1) Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\angle ABC > {90^0}\), hạ \(DE,\,\,DF,\,\,DK\) lần lượt vuông
1) Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\angle ABC > {90^0}\), hạ \(DE,\,\,DF,\,\,DK\) lần lượt vuông góc với \(AB,\,\,BC,\,\,AC.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\) Chứng minh rằng các điểm \(E,\,\,F,\,\,I,\,\,K\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Cho các số dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn: \(xy + xz + 4yz = 32.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + 16{y^2} + 16{z^2}.\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
1) Áp dụng tích chất tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương.
1)
Xét tứ giác BFDE có E,F đều nhìn BD dưới 1 góc vuông, I là trung điểm của BD
Nên BFDE nội tiếp đường tròn (I) đường kính BD
\( \Rightarrow \)\(IB = IF = ID = IE\)và\(\angle FDB = \angle BEF,\,\angle EDB = \angle BFE\) (1)
\( \Rightarrow \Delta IFD\)cân tại I \( \Rightarrow \angle IFD = \angle IDF\)(t/c)
mà \(\begin{array}{l}\angle BIF = \angle IFD + \angle IDF\\ \Rightarrow \angle BIF = 2\angle IDF\end{array}\)
Cm tương tự ta có: \(\angle BIE = 2\angle IDE\)
\( \Rightarrow \angle FIE = 2\angle FDE\)(*)
Có \(\angle FKE = {180^0} - \angle FKC - \angle EKA = {180^0} - \angle FDC - \angle EDA = \angle FDE + \angle ADx\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
(Vì F, K, C, D cùng thuộc 1 đường tròn E,K,A,D cùng thuộc 1 đường tròn)
(1) \( \Rightarrow \angle FDE = \angle BEF + \angle BFE = {180^0} - \angle EBF = \angle ADx\)(3)
Từ (2), (3) suy ra: \(\angle FKE = 2\angle FDE\,\,\,\left( {**} \right)\)
(*) và (**) suy ra: \(\angle FIE = \angle FKE\)
Suy ra E,F,I,K cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương, ta có:
\(\begin{array}{l}8{y^2} + \frac{1}{2}{x^2} \ge 2.\sqrt {8{y^2}.\frac{1}{2}{x^2}} = 4xy\\8{z^2} + \frac{1}{2}{x^2} \ge 2.\sqrt {8{z^2}.\frac{1}{2}{x^2}} = 4xz\\8{y^2} + 8{z^2} \ge 2.\sqrt {8{y^2}.8{z^2}} = 16yz\end{array}\)
Cộng 2 vế của 3 bất phương trình với nhau ta được:
\(P = {x^2} + 16{y^2} + 16{z^2} \ge 4xy + 4xz + 16yz = 4\left( {xy + xz + 4yz} \right) = 4.32 = 128\)
(do\(xy + xz + 4yz = 32\))
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(8{y^2} = 8{z^2} = \frac{1}{2}{x^2}\)
\( \Rightarrow y = z = \frac{1}{4}x\) thay vào pt:\(xy + xz + 4yz = 32\) ta tính được \(x = \frac{{8\sqrt 6 }}{3},\,y = z = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = 128\) khi \(x = \frac{{8\sqrt 6 }}{3},\,y = z = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)
Đáp án cần chọn là: C
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
