Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R,\) điểm \(I\) là trung điểm của đoạn

Câu hỏi số 368300:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R,\) điểm \(I\) là trung điểm của đoạn \(OA\) và dây \(CD\) vuông góc với \(OA\) tại \(I.\) Gọi \(M\) là điểm tùy ý trên cung nhỏ \(BC\,\,\left( {M \ne B,\,\,M \ne C} \right),\,\,E\) là giao điểm của \(AM\) và \(CD.\)

1) Chứng minh rằng \(AE.AM = {R^2}\)

2) Tính số đo góc \(\angle BCD\)

3) Xác định vị trí của \(M\) để tổng \(\left( {MB + MC + MD} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368300

Giải chi tiết

1) Xét \(\Delta AEO\) có \(I\) là trung điểm của AO, mặt khác \(CD\, \bot EO\) nên \(EI \bot EO\)

nên EI đồng thời là đường trung tuyến và đường cao của \(\Delta AEO\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AEO\) cân tại E

Xét \(\Delta AEO\) và \(\Delta AOM\) có:

Đều là 2 tam giác cân tại E và O

Chung góc \(\angle MAO\)

\( \Rightarrow \Delta AEO \sim \Delta AOM\)
\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{{AO}}{{AM}}\) (tính chất)

\( \Rightarrow AE.AM = AO.AO = {R^2}\) (đpcm)

Vậy \(AE.AM = {R^2}\)

2) Xét \(\Delta COI\) vuông tại I nên \(C{I^2} + O{I^2} = C{O^2}\)

\( \Rightarrow C{I^2} = C{O^2} - O{I^2} = {R^2} - {(\frac{1}{2}R)^2} = \frac{3}{4}{R^2}\) (định lí Pytago)

\( \Rightarrow CI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R\)

Xét \(\Delta CBI\) vuông tại I có \(\tan (\angle BCI) = \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{{3/2R}}{{\sqrt 3 /2R}} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \angle BCI = {60^0}\,hay\,\angle BCD = {60^0}\)

Vậy \(\angle BCD = {60^0}\)

3) Có \(\angle BCD = {60^0}\) suy ra \(\Delta BCD\) đều

\( \Rightarrow \angle CBD = {60^0} \Rightarrow \angle CMD = {60^0}\) (cùng chắn cung CD)

Lấy N thuộc MD sao cho \(MN = MC\)

Nên \(\Delta MCN\) có \(MN = MC\) và \(\angle CMD = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta MCN\) đều

Xét \(\Delta CND\) và \(\Delta CMB\) có

\(\angle CDN = \angle CBM\) (cùng chắn cung CM)

\(CN = CM\)

\(\angle DCN = \angle BCM( = {60^0} - \angle BCN)\)

\( \Rightarrow \Delta CND = \Delta CMB\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow DN = MB\) (tc)

Có: \(MB + MC + MD = MN + DN + MD + 2MD \le 2.2R = 4R\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm chính giữa cung BC.

Vậy M nằm chính giữa cung BC thì \((MB + MC + MD)\) đạt max.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link