Cho \(S = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\) Chứng minh rằng: \(S\) không phải là số chính

Câu hỏi số 368678:

Vận dụng cao

Cho \(S = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\)

Chứng minh rằng: \(S\) không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368678

Phương pháp giải

Để chứng minh một số không phải là số chính phương, ta chứng minh số đó có chữ số tận cùng là \(2;3;7;8\)

Giải chi tiết

\(S\) có số số hạng là: \(\frac{{30 - 0}}{1} + 1 = 31\) (số)

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\\ = \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + ... + \left( {{3^{24}} + {3^{25}} + {3^{26}} + {3^{27}}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\ = \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + ... + {3^{24}}\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\ = 40 + ... + {3^{24}}.40 + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\ = 40\left( {1 + ... + {3^{24}}} \right) + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\\ = ...0 + {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\end{array}\)

Xét \({3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\) có:

\(\begin{array}{l}{3^{28}} = {3^{4.7}} = ...1\\{3^{29}} = {3.3^{28}} = ...3\\{3^2}{.3^{28}} = {9.3^{28}} = ...9\end{array}\)

\( \Rightarrow {3^{28}} + {3^{29}} + {3^{30}}\) có chữ số tận cùng là \(1 + 3 + 9 = ...3\)

\( \Rightarrow \) \(S = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\) có chữ số tận cùng là \(3.\)

Vậy \(S = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{30}}\) không phải số chính phương (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link