Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M\) là một điểm di

Câu hỏi số 368903:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M\) là một điểm di động trên cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) không trình với \(B,C\)). Gọi \(H,K,D\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến các đường thẳng \(AB,AC,BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(AHMK\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(MH.MC = MK.MB\).

c) Tìm vị trí của điểm \(M\) để \(DH + DK\) lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368903

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\).

b) Chứng minh hai tam giác \(\Delta HBM\) và \(\Delta KCM\) đồng dạng suy ra các tỉ số tưng ứng.

c) Chứng minh \(H,D,K\) thẳng hàng. Từ đó đánh giá GTLN của \(DH + DK\).

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}MH \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHA = {90^0}\\MK \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MKA = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \angle MHA + \angle MKA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \(AHMK\) nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Dễ thấy tứ giác \(ABMC\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle HBM = \angle MCA\) (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong đỉnh đối diện)

Xét \(\Delta HBM\) và \(\Delta KCM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle MHB = \angle MKC\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle HBM = \angle MCA\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta HBM \sim \Delta KCM\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{HM}}{{KM}} = \frac{{BM}}{{CM}}\) (cạnh tưng ứng) \( \Rightarrow MH.MC = MB.MK\) (đpcm).

c) Nối \(D\) với \(H\), \(D\) với \(K\).

Xét tứ giác \(BHMD\) có \(\angle BHM + \angle BDM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên \(BHDM\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle BDH = \angle BMH\) (cùng chắn cung \(BH\)) (1)

Xét tứ giác \(CKDM\) có \(\angle MDC = \angle MKC = {90^0}\) nên tứ giác \(CKDM\) nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle KDC = \angle KMC\) (cùng chắn cung \(KC\)) (2)

Mà \(\Delta HBM \sim \Delta KCM\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BMH = \angle KMC\) (góc tương ứng) (3)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\angle BDH = \angle KDC\) suy ra \(H,D,K\) thẳng hàng hay \(DH + DK = HK\).

Ta có: \(\angle MHD = \angle MBD\) (cùng chắn cung \(MD\)) \( \Rightarrow \angle MHK = \angle MBC\)

\(\angle MKD = \angle MCD\) (cùng chắn cung \(MD\)) \( \Rightarrow \angle MKH = \angle MCB\)

Xét \(\Delta MHK\) và \(\Delta MBC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle MHK = \angle MBC\left( {cmt} \right)\\\angle MKH = \angle MCB\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MHK \sim \Delta MBC\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MB}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{{HK}}{{BC}}\) (cạnh tương tứng)

Mà \(MH \le MB,MK \le MC \Rightarrow \frac{{MH}}{{MB}} = \frac{{MK}}{{MC}} \le 1\) \( \Rightarrow \frac{{HK}}{{BC}} \le 1 \Rightarrow HK \le BC\) cố định.

Dấu “=” xảy ra khi \(MH = MB,MK = MC\) hay \(H \equiv B,K \equiv C\) hay \(AB \bot BM,AC \bot CM\)

\( \Rightarrow \angle ABM = \angle ACM = {90^0}\) hay \(A,B,C,M\) nằm trên đường tròn đường kính \(AM\).

Kẻ đường kính \(AE\) của đường tròn tâm \(\left( O \right)\) thì \(M \equiv E\).

Vậy \(\max \left( {DH + DK} \right) = BC\) khi \(M \equiv E\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link