Cho ba số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh: \(\frac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }}

Câu hỏi số 368904:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh:

\(\frac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} \ge \frac{{16}}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368904

Phương pháp giải

Đánh giá \(VT \ge \frac{{16}}{{a + b + c + 3}} \ge VP\) bằng cách sử dụng phối hợp các bất đẳng thức:

+ Bất đẳng thức Cô – si \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

+ Bất đẳng thức phụ: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(VT = \frac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} = \frac{{2 + 3\left( {2a + b + 2\sqrt {2bc} } \right)}}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} = \frac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} + 3\)

Mà \(2\sqrt {2bc} = 2\sqrt {b.2c} \le b + 2c\) (BĐT Cô – si)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2a + b + 2\sqrt {2bc} \le 2a + b + b + 2c = 2\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \frac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} \ge \frac{2}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{{a + b + c}}\\ \Rightarrow \frac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} + 3 \ge \frac{1}{{a + b + c}} + 3 = \frac{{{1^2}}}{{a + b + c}} + \frac{{{3^2}}}{3} \ge \frac{{{{\left( {1 + 3} \right)}^2}}}{{a + b + c + 3}} = \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\end{array}\)

\( \Rightarrow VT \ge \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\).

Ta chứng minh \(VP \le \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\).

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}\frac{{16}}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}} \le \frac{{16}}{{a + b + c + 3}} \Leftrightarrow \sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3 \ge a + b + c + 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} \ge a + b + c \Leftrightarrow 2{b^2} + 2{\left( {a + c} \right)^2} \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 4ac \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b - a - c} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng).

Do đó \(VP \le \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\), suy ra điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 2c\\\frac{1}{{a + b + c}} = \frac{3}{3} = 1\\{\left( {b - a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2c\\a + b + c = 1\\b - a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link