Cho ba số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh: \(\frac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }}

Câu hỏi số 368904:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(a,b,c\). Chứng minh:

\(\frac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} \ge \frac{{16}}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368904

Phương pháp giải

Đánh giá \(VT \ge \frac{{16}}{{a + b + c + 3}} \ge VP\) bằng cách sử dụng phối hợp các bất đẳng thức:

+ Bất đẳng thức Cô – si \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

+ Bất đẳng thức phụ: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(VT = \frac{{2 + 6a + 3b + 6\sqrt {2bc} }}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} = \frac{{2 + 3\left( {2a + b + 2\sqrt {2bc} } \right)}}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} = \frac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} + 3\)

Mà \(2\sqrt {2bc} = 2\sqrt {b.2c} \le b + 2c\) (BĐT Cô – si)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2a + b + 2\sqrt {2bc} \le 2a + b + b + 2c = 2\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \frac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} \ge \frac{2}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{{a + b + c}}\\ \Rightarrow \frac{2}{{2a + b + 2\sqrt {2bc} }} + 3 \ge \frac{1}{{a + b + c}} + 3 = \frac{{{1^2}}}{{a + b + c}} + \frac{{{3^2}}}{3} \ge \frac{{{{\left( {1 + 3} \right)}^2}}}{{a + b + c + 3}} = \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\end{array}\)

\( \Rightarrow VT \ge \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\).

Ta chứng minh \(VP \le \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\).

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}\frac{{16}}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}} \le \frac{{16}}{{a + b + c + 3}} \Leftrightarrow \sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3 \ge a + b + c + 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} \ge a + b + c \Leftrightarrow 2{b^2} + 2{\left( {a + c} \right)^2} \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 4ac \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b - a - c} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng).

Do đó \(VP \le \frac{{16}}{{a + b + c + 3}}\), suy ra điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 2c\\\frac{1}{{a + b + c}} = \frac{3}{3} = 1\\{\left( {b - a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2c\\a + b + c = 1\\b - a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link