Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \((O)\). Gọi \(E\)là
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \((O)\). Gọi \(E\)là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(EM = EC\), đường thẳng \(BM\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(N\,\,\,\left( {N \ne B} \right).\) Các đường thẳng \(EA\) và \(EN\) cắt cạnh \(BC\)lần lượt tại \(D\) và \(F\).
a) Chứng minh tam giác \(AEN\) đồng dạng với tam giác \(FED\)
b) Chứng minh \(M\) là trực tâm tam giác \(AEN\)
c) Gọi \(I\)là trung điểm của \(AN\), tia \(IM\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(K\). Chứng minh đường thẳng \(CM\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMK\).
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
b) Chứng minh trực tâm theo định nghĩa.
c) Sử dụng tính chất của hình bình hành và tứ giác nội tiếp.
a) Chứng minh tam giác \(AEN\) đồng dạng với tam giác \(FED\)
Ta có: \(\angle EAN = \angle EBN\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(NE\))
Vì \(E\) là điểm chính giữa cung \(BC \Rightarrow BE = EC \Rightarrow \angle EBC = \angle BCE\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
\(\angle CBN = \angle NEC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(NC\))
Mà:\(\angle EBN = \angle EBC + \angle CBN = \angle ECB + \angle NEC\)
Lại có: \(\angle DFE = \angle BCE + \angle FEC\) (góc ngoài của \(\Delta FEC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DFE = \angle EBN\\ \Rightarrow \angle EAN = \angle DFE\,\,\,\left( { = \angle EBN} \right)\end{array}\)
Xét \(\Delta AEN\) và \(\Delta FED\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle E\,\,\,chung\\\angle EAN = \angle DFE\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEN \sim \Delta FED\,\,\,\left( {g - g} \right).\end{array}\)
b) Chứng minh \(M\) là trực tâm tam giác \(AEN\)
Ta có: \(EM = EC\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta EMC\) là tam giác cân tại \(E \Rightarrow \angle EMC = \angle ECM\) (hai góc kề đáy).
Lại có: \(EB = EC\left( {gt} \right) \Rightarrow EB = EM \Rightarrow \Delta EBM\) cân tại \(E \Rightarrow \angle EMB = \angle EBM\) (hai góc kề đáy).
Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\angle EMB = \angle EBM\\ \Leftrightarrow \angle MNE + \angle MEN = \angle EBC + \angle CBN\\ \Leftrightarrow \angle MEN = \angle NBC\,\,\,\,\,\left( {\angle CBE = \angle MNE} \right)\\ \Rightarrow \angle NEC = \angle MEN\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\,\angle NEC = \angle NBC} \right)\end{array}\)
Lại có: \(\angle MNE = \angle ENC\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Xét \(\Delta NME\) và \(\Delta NEC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle MEN = \angle NEC\,\,\left( {cmt} \right)\\MN\,\,\,chung\\\angle MNE = \angle ENC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta NME = \Delta NEC\,\,\,\left( {g - c - g} \right).\end{array}\)
\( \Rightarrow NM = NC\) (hai cạnh tương ứng).
\( \Rightarrow \Delta MNC\) cân tại \(N.\)
Mà \(NE\) là tia phân giác của \(\angle MNC \Rightarrow NE\) cũng là đường cao của \(\Delta MNC.\)
\( \Rightarrow NE \bot MC\,\,\,hay\,\,\,AM \bot NE.\,\,\,\,\)
Hay \(AM\) là đường cao của \(\Delta ANE.\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Gọi \(\left\{ Y \right\} = AE \cap BN.\)
Mặt khác:
\(\angle AEN + \angle MNE = \angle ACN + \angle ENC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta MYE\) là tam giác vuông tại \(Y.\)
\( \Rightarrow MN \bot AE = \left\{ Y \right\} \Rightarrow NM\) là đường cao của \(\Delta ANE.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(M\)là trực tâm \(\Delta ENA.\) (đpcm)
c) Gọi \(I\)là trung điểm của \(AN\), tia \(IM\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(K\). Chứng minh đường thẳng \(CM\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BMK\).
Gọi giao điểm của \(AM\) và\(EN\)là \(X.\)
Kẻ \(AT \bot AE,\,\,\,T \in \left( O \right) \Rightarrow \angle EAT = {90^0}\)
Mà \(\angle EAT\) là góc nội tiếp \( \Rightarrow ET\) là đường kính.
\( \Rightarrow E;\,\,O;\,\,T\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow \angle TNE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAC + \angle AMB = \angle AYM = {90^0}\\\angle TNM + \angle MNE = \angle TNE = {90^0}\\\angle MNE = \angle EAC\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMB = \angle TNM\\ \Rightarrow AM\parallel TN\end{array}\)
\( \Rightarrow ATMN\)là hình bình hành (do \(AT\parallel MN\))
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của\(TM\)
\( \Rightarrow T;M;K\)thẳng hàng
\( \Rightarrow \angle MKE = {90^0} \Rightarrow K\)thuộc đường tròn đường kính \(EM\)
\( \Rightarrow 5\) điểm \(X;Y;M;K;E\) cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: \(\angle KMC = \angle KMX = \angle XEK = \angle NEK = \angle NBK\) (do tứ giác \(MEKX\)nội tiếp)
\( \Rightarrow CM\) là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BMK\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
