Chứng minh rằng: Tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương

Câu hỏi số 370054:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370054

Phương pháp giải

Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.

Sử dụng công thức: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Giải chi tiết

Gọi hai số lẻ bất kỳ là \(a,\,\,b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 2m + 1,\,\,\,b = 2n + 1\left( {m,n \in \mathbb{N}} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \left( {2m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right) + \left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1 + 4{n^2} + 4n + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right) + 2\end{array}\)

Ta có: \(4\,\, \vdots \,\,4 \Rightarrow 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right)\,\,\, \vdots \,\,4 \Rightarrow 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right) + 2\) chia \(4\) dư \(2.\)

Vì không có số chính phương nào có dạng \(4k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) nên \({a^2} + {b^2}\) không thể là số chính phương.

Vậy tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link