Chứng minh rằng: Tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương

Câu hỏi số 370054:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370054

Phương pháp giải

Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.

Sử dụng công thức: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Giải chi tiết

Gọi hai số lẻ bất kỳ là \(a,\,\,b\,\,\,\left( {a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 2m + 1,\,\,\,b = 2n + 1\left( {m,n \in \mathbb{N}} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \left( {2m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right) + \left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1 + 4{n^2} + 4n + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right) + 2\end{array}\)

Ta có: \(4\,\, \vdots \,\,4 \Rightarrow 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right)\,\,\, \vdots \,\,4 \Rightarrow 4\left( {{m^2} + m + {n^2} + n} \right) + 2\) chia \(4\) dư \(2.\)

Vì không có số chính phương nào có dạng \(4k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) nên \({a^2} + {b^2}\) không thể là số chính phương.

Vậy tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link