Giả sử \(N = 1.3.5.7...2009.2011\) Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp \(2N -

Câu hỏi số 370055:

Vận dụng cao

Giả sử \(N = 1.3.5.7...2009.2011\)

Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp \(2N - 1,\,\,\,2N,\,\,\,2N + 1\) không có số nào là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370055

Phương pháp giải

Nếu số \(a\) chia hết cho \(x\) nhưng không chia hết cho \({x^2}\) thì số đó không phải số chính phương.

Một số là số chính phương khi số đó chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1.

Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.

Giải chi tiết

+) Ta có: \(2N - 1 = 2.1.3.5.7...2011 - 1\)

\(N = 1.3.5.7...2011\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 2N\,\, \vdots \,\,\,3 \Rightarrow 2N - 1\) chia \(3\) dư \(2.\)

\( \Rightarrow 2N - 1 = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow 2n - 1\) không là số chính phương \(\left( 1 \right)\)

+) Ta có: \(2N = 2.1.3.5.7...2011 \Rightarrow 2N\) chẵn

Vì \(N\) lẻ \( \Rightarrow N\) không chia hết cho 2 và \(2N\, \vdots \,\,2\) nhưng \(2N\) không chia hết cho 4

\(2N\) chẵn mà \(2N\) không chia hết cho 4 nên \(2N\) chia 4 dư \(2\)

\( \Rightarrow 2N\) không là số chính phương \(\left( 2 \right)\)

+) Ta có: \(2N + 1 = 2.1.3.5.7...2011 + 1 \Rightarrow 2N + 1\) lẻ nên \(2N + 1\) không chia hết cho 4

\(2N\) không chia hết cho\(4\) dư \(2\) nên \(2N + 1\) chia \(4\) dư \(3.\)

\( \Rightarrow 2N + 1\) không phải là số chính phương \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)\(\left( 2 \right)\)\(\left( 3 \right)\)\( \Rightarrow 2N - 1,\,\,2N,\,\,2N + 1\) không có số nào là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link