Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp khác 0 không phải là số chính

Câu hỏi số 370257:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp khác 0 không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370257

Phương pháp giải

Nếu \({n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\) thì \(A\) không là số chính phương.

Giải chi tiết

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là \(a,\,\,a + 1,\,\,\,a + 2,\,\,\,a + 3.\)

Khi đó ta có tích của bốn số này là: \(A = a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left[ {a\left( {a + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)} \right]\\ \Rightarrow A = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right)\end{array}\)

Ta có: \(A + 1 = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a + 1} \right) + 1\\ = {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A < A + 1\\ \Rightarrow {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} < \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) < {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(A = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right)\) không thể là số chính phương.

Vậy tích của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link