Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp khác 0 không phải là số chính

Câu hỏi số 370257:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp khác 0 không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370257

Phương pháp giải

Nếu \({n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\) thì \(A\) không là số chính phương.

Giải chi tiết

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là \(a,\,\,a + 1,\,\,\,a + 2,\,\,\,a + 3.\)

Khi đó ta có tích của bốn số này là: \(A = a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left[ {a\left( {a + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)} \right]\\ \Rightarrow A = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right)\end{array}\)

Ta có: \(A + 1 = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a + 1} \right) + 1\\ = {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A < A + 1\\ \Rightarrow {\left( {{a^2} + 3a} \right)^2} < \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) < {\left( {{a^2} + 3a + 1} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(A = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right)\) không thể là số chính phương.

Vậy tích của bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link