Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính

Câu hỏi số 370261:

Vận dụng

Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370261

Phương pháp giải

+) Nếu \({n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\) thì \(A\) không là số chính phương.

+) Đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}.\)

Giải chi tiết

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là \(a,\,\,a + 1,\,\,a + 2,\,\,a + 3.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {a^2} + {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {a + 3} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = {a^2} + {a^2} + 2a + 1 + {a^2} + 4a + 1 + {a^2} + 6a + 1\\\,\,\,\,\, = 4{a^2} + 12a + 14\\\,\,\,\,\, = 4{a^2} + 2.2a.3 + 9 + 5\\\,\,\,\,\, = {\left( {2a + 3} \right)^2} + 5.\end{array}\)

Vì \({\left( {2a + 3} \right)^2} < {\left( {2a + 3} \right)^2} + 5 < {\left( {2a + 4} \right)^2} \Rightarrow {\left( {2a + 3} \right)^2} + 5\) không phải số chính phương.

Hay \(A = {a^2} + {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {a + 3} \right)^2}\) không phải số chính phương (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link