Chứng minh rằng: Số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N},\,\,\,n > 1}

Câu hỏi số 370262:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N},\,\,\,n > 1} \right)\) không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370262

Phương pháp giải

+) Nếu \({n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\) thì \(A\) không là số chính phương.

+) Sử dụng các đẳng thức:

\(\begin{array}{l}{a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\\{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\\\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\end{array}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} = {n^2}\left( {{n^4} - {n^2} + 2n + 2} \right)\\ = {n^2}\left[ {{n^2}\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 2\left( {n + 1} \right)} \right]\\ = {n^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)\left( {{n^3} - {n^2} + 2} \right)} \right]\\ = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left[ {\left( {{n^3} + 1} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right)} \right]\\ = {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\left( {{n^2} - 2n + 2} \right)\end{array}\)

Với \(n \in \mathbb{N},\,\,\,n > 1 \Rightarrow {n^2} - 2n + 2 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 > {\left( {n - 1} \right)^2}\) và \({n^2} - 2n + 2 = {n^2} - 2\left( {n - 1} \right) < {n^2}\)

Vậy \({\left( {n - 1} \right)^2} < {n^2} - 2n + 2 < {n^2} \Rightarrow {n^2} - 2n + 2\) không phải số chính phương

Vậy \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) với \(n \in \mathbb{N},\,\,n > 1\) không phải là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link