Chứng minh rằng: \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không phải là số chính phương với \(n \in

Câu hỏi số 370264:

Vận dụng

Chứng minh rằng: \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không phải là số chính phương với \(n \in \mathbb{N}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370264

Phương pháp giải

+) Nếu \({n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\) thì \(A\) không là số chính phương.

+) Đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\\ = \left( {{n^4} + 2{n^3} + {n^2}} \right) + \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\\ = {n^2}\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\\ = {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} + {\left( {n + 1} \right)^2}\\ = {\left( {n + 1} \right)^2}\left( {{n^2} + 1} \right)\end{array}\)

Vì \({n^2} < {n^2} + 1 < {\left( {n + 1} \right)^2} \Rightarrow {n^2} + 1\) không thể là số chính phương

Mà \({\left( {n + 1} \right)^2}\) là số chính phương

\( \Rightarrow \)\(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không thể là số chính phương (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link