Tìm các số tự nhiên \(x\) để biểu thức sau là số chính phương: \({x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x +

Câu hỏi số 370266:

Vận dụng cao

Tìm các số tự nhiên \(x\) để biểu thức sau là số chính phương: \({x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3.\)

A. \(x = 1.\)

B. \(x = 2.\)

C. \(x = 3.\)

D. \(x = 4.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370266

Phương pháp giải

+) Nếu \({n^2} < A < {\left( {n + 1} \right)^2}\) thì \(A\) không là số chính phương.

Giải chi tiết

Đặt \({x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 = {y^2}\,\,\,\left( {y \in \mathbb{N}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \({y^2} = \left( {{x^4} + 2{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + x + 3} \right) = {\left( {{x^2} + x} \right)^2} + \left( {{x^2} + x + 3} \right)\)

Ta sẽ chứng minh \({a^2} < {y^2} < {\left( {a + 2} \right)^2}\) với \(a = {x^2} + x.\)

Thật vậy: \({y^2} - {a^2} = {x^2} + x + 3 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\)

\(\begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} - {y^2} = {\left( {{x^2} + x + 2} \right)^2} - \left( {{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3} \right)\\ = 3{x^2} + 3x + 1 = 3{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} > 0\end{array}\)

Do \({a^2} < {y^2} < {\left( {a + 2} \right)^2} \Rightarrow {y^2} = {\left( {a + 1} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\ktm\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 1\) biểu thức đã cho bằng \(9 = {3^2}\)

Vậy \(x = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link