Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n

Câu hỏi số 370827:

Thông hiểu

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370827

Phương pháp giải

Để chứng minh một số A là số chính phương, ta chứng minh \(A = {k^2}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Và tính chất: \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1\\ = \left[ {n\left( {n + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \right] + 1\\ = \left( {{n^2} + 3n} \right)\left( {{n^2} + 3n + 2} \right)\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({n^2} + 3n = t\left( {t \in N} \right)\)

\( \Rightarrow \left( * \right) = t\left( {t + 2} \right) + 1 = {t^2} + 2t + 1 = {\left( {t + 1} \right)^2} = {\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2}\)

Vì \(n \in N \Rightarrow {n^2} + 3n + 1 \in N\)

\( \Rightarrow \)\(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) + 1\) là số chính phương (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link