Cho hình vuông \(ABCD,\,\,M\) là trung điểm của AB. Gọi P là điểm đối xứng với M qua B, N là

Câu hỏi số 372874:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD,\,\,M\) là trung điểm của AB. Gọi P là điểm đối xứng với M qua B, N là điểm đối xứng với C qua B.

a) Chứng minh tứ giác MNPC là hình thoi.

b) Chứng minh N đối xứng với D qua M.

c) Gọi H là giao điểm của DB và NP. Tính tỉ số \(\frac{{NP}}{{HP}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:372874

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình bình hành.

b) Chứng minh bằng nhau và thẳng hàng.

c) Bắc cầu tỉ số, sử dụng định lý Thales.

Giải chi tiết

a) Vì P là điểm đối xứng với M qua B, N là điểm đối xứng với C qua B nên MNPC là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) .

Lại có \(\angle ABC = 90^\circ \Rightarrow AB \bot BC\) hay \(MP \bot NC \Rightarrow \)MNPC là hình thoi. (dhnb)

b) Vì M là trung điểm của AB nên \(AM = MB.\)

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta BMC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle DAM = \angle CBM = {90^0}\\AM = BM\,\,\left( {cmt} \right)\\AD = BC\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMD = \Delta BMC\,\,\,\left( {2cgv} \right) \Rightarrow MD = MC.\end{array}\)

Mà \(MC = MN\) (MNPC là hình thoi)

Suy ra \(MD = MN.\) (1)

Tứ giác MPCD có \(MP = DC,\,\,MP\,{\rm{//}}\,DC\) suy ra MPCD là hình bình hành, suy ra \(MD\,{\rm{//}}\,PC\).

Lại có \(P\,C{\rm{//}}\,MN \Rightarrow D,M,N\) thẳng hàng. (2)

Từ (1) và (2) suy ra N đối xứng với D qua M.

c) Gọi E là giao điểm của DB và CM.

Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta BHP\) ta có:

\(\angle BME = \angle BPH\) (so le trong)

\(BM = BP\) (MNPC là hình thoi)

\(\angle NBE = \angle HBP\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta BEM = \Delta BHP\,\,\,\,\left( {g - c - g} \right).\)

\( \Rightarrow HP = EM\)(hai cạnh tương ứng).

Lại có: \(NP = CM \Rightarrow \frac{{NP}}{{HP}} = \frac{{CM}}{{EM}}.\)

Theo định lý Ta-lét: \(\frac{{CE}}{{EM}} = \frac{{DC}}{{MB}} = 2 \Rightarrow \frac{{CE + EM}}{{EM}} = 3 \Rightarrow \frac{{CM}}{{EM}} = 3.\)

Suy ra \(\frac{{NP}}{{HP}} = 3.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link