Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền

Câu hỏi số 373753:

Vận dụng

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số \(a\left( {a > 0} \right).\)

A. \(AB = {a \over 3},\,\,AC = {{a\sqrt 2 } \over 3},\,\,BC = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

B. \(AB = {a \over 2},\,\,AC = {{a\sqrt 7 } \over 6},\,\,BC = {{2a} \over 3}\)

C. \(AB = {{a\sqrt 2 } \over 3},\,\,AC = {{a\sqrt 2 } \over 3},\,\,BC = {{2a} \over 3}\)

D. \(AB = {a \over 3},\,\,AC = {{a\sqrt 3 } \over 3},\,\,BC = {{2a} \over 3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373753

Phương pháp giải

- Lập hàm số tính diện tích tam giác theo biến là một cạnh góc vuông.

- Xét hàm tìm GTLN và kết luận.

Giải chi tiết

Gọi số đo cạnh góc vuông \(AB\) là \(x,0 < x < \dfrac{a}{2}\) (vì \(AB + AC = a,AB < AC\))

Khi đó, cạnh huyền \(BC = a-x\), cạnh góc vuông còn lại là: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {x^2}} \)

Hay \(AC = \sqrt {{a^2} - 2ax} \)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S(x) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{a^2} - 2ax} \)

\(S'(x) = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} - 2ax} - \dfrac{1}{2}\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}\)\( = \dfrac{{a(a - 3x)}}{{2\sqrt {{a^2} - 2ax} }}\)

\(S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}\)

Bảng biến thiên:

Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB = \dfrac{a}{3};BC = \dfrac{{2a}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.