Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,n > 1\) ta luôn có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n +

Câu hỏi số 373902:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,n > 1\) ta luôn có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373902

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = \dfrac{1}{{2 + 1}} + \dfrac{1}{{2 + 2}} = \dfrac{7}{{12}} > \dfrac{{13}}{{24}}\) (Đúng).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), tức là \(\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}}\) (giả thiết quy nạp).

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \(\dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \dfrac{{13}}{{24}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} = \dfrac{{2k + 2 + 2k + 1 - 2}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{{4k + 1}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\).

Do \(k \ge 2 \Rightarrow \dfrac{{4k + 1}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0\,\,\forall k \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} > 0\,\,\forall k \ge 2\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).

Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.