Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,n > 1\) ta luôn có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).

Câu 373902: Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,n > 1\) ta luôn có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).

Câu hỏi : 373902

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

  • (0) bình luận (0) lời giải
    ** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây

    Giải chi tiết:

    Đặt \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\,\,\left( 1 \right)\).

    Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = \dfrac{1}{{2 + 1}} + \dfrac{1}{{2 + 2}} = \dfrac{7}{{12}} > \dfrac{{13}}{{24}}\) (Đúng).

    Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).

    Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), tức là \(\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}}\) (giả thiết quy nạp).

    Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \(\dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \dfrac{{13}}{{24}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

    Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:

    \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\end{array}\)

    Ta có: \(\dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} = \dfrac{{2k + 2 + 2k + 1 - 2}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{{4k + 1}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\).

    Do \(k \ge 2 \Rightarrow \dfrac{{4k + 1}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0\,\,\forall k \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} > 0\,\,\forall k \ge 2\).

    \( \Rightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).

    Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com