Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,n > 1\) ta luôn có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).
Câu 373902: Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\,\,n > 1\) ta luôn có: \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
-
Giải chi tiết:
Đặt \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2n}} > \dfrac{{13}}{{24}}\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = \dfrac{1}{{2 + 1}} + \dfrac{1}{{2 + 2}} = \dfrac{7}{{12}} > \dfrac{{13}}{{24}}\) (Đúng).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).
Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), tức là \(\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}}\) (giả thiết quy nạp).
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \(\dfrac{1}{{k + 2}} + \dfrac{1}{{k + 3}} + ... + \dfrac{1}{{2\left( {k + 1} \right)}} > \dfrac{{13}}{{24}}\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} > \dfrac{{13}}{{24}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}}\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} = \dfrac{{2k + 2 + 2k + 1 - 2}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{{4k + 1}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}\).
Do \(k \ge 2 \Rightarrow \dfrac{{4k + 1}}{{2\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0\,\,\forall k \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} > 0\,\,\forall k \ge 2\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{k + 2}} + ... + \dfrac{1}{{2k}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} > \dfrac{{13}}{{24}} + \dfrac{1}{{2k + 1}} + \dfrac{1}{{2k + 2}} - \dfrac{1}{{k + 1}} > \dfrac{{13}}{{24}}\).
Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com