Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có:

Câu 1: \({2^{n + 2}} > 2n + 5\)          

Câu hỏi : 373904

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
  • (0) bình luận (0) lời giải
    ** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây

    Giải chi tiết:

    Đặt \({2^{n + 2}} > 2n + 5\,\,\left( 1 \right)\).

    Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {2^3} = 8,\,\,VP = 2.1 + 5 = 7 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).

    Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

    Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\) (giả thiết quy nạp).

    Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\).

    Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:

    \({2^{k + 3}} = {2.2^{k + 2}} > 2\left( {2k + 5} \right) = 4k + 10 > 2k + 7\,\,\forall k \ge 1\).

    Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

Câu 2: \({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1\).

Câu hỏi : 373905

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
  • (1) bình luận (0) lời giải
    ** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây

    Giải chi tiết:

    Đặt \({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

    Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\,\,VP = 1 \Rightarrow VT \le VP\) (Đúng).

    Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

    Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1\) (giả thiết quy nạp).

    Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  \le 1\,\,\,\left( 2 \right)\).

    Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:

    \({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  = {\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \)

    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}\alpha  \le 1\,\,\forall \alpha \\0 \le {\cos ^2}\alpha  \le 1\,\,\forall \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha  \le {\sin ^{2k}}\alpha \\{\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha  \le {\cos ^{2k}}\alpha \end{array} \right.\)

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha  \le {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1\\ \Rightarrow {\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  \le 1\end{array}\)

    Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com