Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có:
Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có:
Câu 1: \({2^{n + 2}} > 2n + 5\)
-
Giải chi tiết:
Đặt \({2^{n + 2}} > 2n + 5\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {2^3} = 8,\,\,VP = 2.1 + 5 = 7 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\) (giả thiết quy nạp).
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:
\({2^{k + 3}} = {2.2^{k + 2}} > 2\left( {2k + 5} \right) = 4k + 10 > 2k + 7\,\,\forall k \ge 1\).
Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Câu 2: \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\).
-
Giải chi tiết:
Đặt \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\,\,VP = 1 \Rightarrow VT \le VP\) (Đúng).
Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\) (giả thiết quy nạp).
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:
\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha = {\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}\alpha \le 1\,\,\forall \alpha \\0 \le {\cos ^2}\alpha \le 1\,\,\forall \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha \\{\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \le {\cos ^{2k}}\alpha \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\\ \Rightarrow {\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\end{array}\)
Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com