Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta luôn có:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

\({2^{n + 2}} > 2n + 5\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373904

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({2^{n + 2}} > 2n + 5\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {2^3} = 8,\,\,VP = 2.1 + 5 = 7 \Rightarrow VT > VP\) (Đúng).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5\) (giả thiết quy nạp).

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:

\({2^{k + 3}} = {2.2^{k + 2}} > 2\left( {2k + 5} \right) = 4k + 10 > 2k + 7\,\,\forall k \ge 1\).

Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

\({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\).

Xem lời giải

Câu hỏi:373905

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,\,\,VP = 1 \Rightarrow VT \le VP\) (Đúng).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\) (giả thiết quy nạp).

Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\) tức là \({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy từ giả thiết quy nạp, ta có:

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha = {\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}\alpha \le 1\,\,\forall \alpha \\0 \le {\cos ^2}\alpha \le 1\,\,\forall \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha \\{\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \le {\cos ^{2k}}\alpha \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^2}\alpha {\cos ^{2k}}\alpha \le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1\\ \Rightarrow {\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1\end{array}\)

Chứng tỏ (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.