Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4, 5 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

\({n^3} + 3{n^2} + 5n\,\, \vdots \,\,3\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373897

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({A_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n\).

Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = 9\,\, \vdots \,\,3\) (Đúng)

Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right)\,\, \vdots \,\,3\) (Giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 3{k^2} + 6k + 3 + 5k + 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3{k^2} + 9k + 9\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {A_k} + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,3\), lại thấy \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\).

Kết luận \({n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho \(3\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

\({n^3} + 11n\,\, \vdots \,\,6\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373898

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({A_n} = {n^3} + 11n\).

Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {1^3} + 11.1 = 12\,\, \vdots \,\,6\) (Đúng)

Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{k^3} + 11k} \right)\,\, \vdots \,\,6\) (Giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 3{k^2} + 14k + 12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^3} + 11k + 3{k^2} + 3k + 12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {A_k} + 3k\left( {k + 1} \right) + 12\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp

\({A_k}\,\, \vdots \,\,6\)

\(k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\) (tích 2 số tự nhiên liên tiếp) \( \Rightarrow 3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,6\)

\(12\,\, \vdots \,\,6\).

\( \Rightarrow {A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6\).

Kết luận \({n^3} + 11n\) chia hết cho \(6\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

\({13^n} - 1\,\, \vdots \,\,6\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373899

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({A_n} = {13^n} - 1\).

Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {13^1} - 1 = 12\,\, \vdots \,\,6\) (Đúng)

Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{{13}^k} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,6\) (Giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, ta có

\({A_{k + 1}} = {13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = 13\left( {{{13}^k} - 1} \right) + 12 = 13{A_k} + 12\)

Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,6\), lại thấy \(\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6\).

Kết luận \({13^n} - 1\) chia hết cho \(6\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Câu hỏi số 4:

Vận dụng

\({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373900

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({A_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\).

Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {7.2^0} + {3^1} = 10\,\, \vdots \,\,5\) (Đúng)

Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,5\) (Giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,5\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} = {7.2^2}{2^{2k - 2}} + {3^2}{.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{A_k} + {5.3^{2k - 1}}\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow 4{A_k}\,\, \vdots \,\,5\), lại thấy \({5.3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,5\).

Kết luận \({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\) chia hết cho \(5\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Câu hỏi số 5:

Vận dụng

\({5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\,\, \vdots \,\,19\)

Xem lời giải

Câu hỏi:373901

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({A_n} = {5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\).

Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {5.2^1} + {3^2} = 19\,\, \vdots \,\,19\) (Đúng)

Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,19\) (Giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {5.2^{3k + 1}} + {3^{3k + 2}} = {5.2^3}{.2^{3k - 2}} + {3^3}{.3^{3k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {8.5.2^{3k - 1}} + {8.3^{3k - 1}} + {19.3^{3k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8\left( {{{5.2}^{3k - 1}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.3^{3k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8{A_k} + {19.3^{3k - 1}}\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 8{A_k}\,\, \vdots \,\,19\), lại thấy \({19.3^{3k - 1}}\,\, \vdots \,\,19\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19\).

Kết luận chia hết cho \(19\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.