Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(M\) là trung điểm \(SA\), điểm \(N\)

Câu hỏi số 373929:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(M\) là trung điểm \(SA\), điểm \(N\) thuộc đoạn \(SD\) sao cho \(NS = 2ND\), \(I\) là giao điểm của \(MN\) với \(AD\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(CD\) với \(BI\). Xác giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), từ đó suy ra thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\).

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BI\) với \(AC\). Chứng minh \(BM\parallel KN\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373929

Phương pháp giải

a, b) Xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng.

c) Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) có:

+ \(B\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}I \in MN \subset \left( {BMN} \right) \Rightarrow I \in \left( {BMN} \right)\\I \in AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {BMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai.

Vậy \(\left( {BMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BI\).

b) Xét \(\left( {BMN} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có:

+ \(N\) là điểm chung thứ nhất.

+ \(J = BI \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in BI \subset \left( {BMN} \right) \Rightarrow J \in \left( {BMN} \right)\\J \in CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow J \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {BMN} \right) \cap \left( {SCD} \right)\)\( \Rightarrow J\) là điểm chung thứ hai.

Vậy \(\left( {BMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NJ\). Từ đó ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {BMN} \right)\) là tứ giác \(BMNJ\).

c) Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(NE\parallel SA\,\,\,\left( {E \in AD} \right)\) ta có: \(\dfrac{{NE}}{{SA}} = \dfrac{{DN}}{{SD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{2MA}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{NE}}{{MA}} = \dfrac{2}{3}\).

Mà \(\dfrac{{NE}}{{MA}} = \dfrac{{IN}}{{IM}} \Rightarrow \dfrac{{IN}}{{IM}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MN}} = 2\).

Mà \(IM\) là trung tuyến của tam giác \(SAI \Rightarrow N\) là trọng tâm tam giác \(SAI\).

\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AI \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{IA}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{DJ}}{{AB}} = \dfrac{{DJ}}{{CD}} \Rightarrow J\) là trung điểm của \(CD\).

\( \Rightarrow \dfrac{{CJ}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{KJ}}{{KB}} \Rightarrow KJ = \dfrac{1}{2}KB \Rightarrow IK = KJ + IJ = \dfrac{1}{2}KB + \dfrac{3}{2}KB = 2KB\).

Vậy \(\dfrac{{IN}}{{MN}} = \dfrac{{IK}}{{BK}} = 2 \Rightarrow BM\parallel KN\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.