1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({y^3} = {x^3} + {x^2} + x + 1.\) 2) Cho các số nguyên

Câu hỏi số 374335:

Vận dụng cao

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({y^3} = {x^3} + {x^2} + x + 1.\)

2) Cho các số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 1.\)

Chứng minh rằng: \(A = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)\) là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374335

Phương pháp giải

1) Xét các TH: \(\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 1\end{array} \right.\) và TH: \( - 1 \le x \le 0\) để giải phương trình.

2) Đưa biểu thức A về dạng \(A = {B^2}\).

Giải chi tiết

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({y^3} = {x^3} + {x^2} + x + 1.\)

TH1: Xét: \({x^2} + x > 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) > 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 1\end{array} \right.\) , từ đó ta có \(2\left( {{x^2} + x} \right) > 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^3} + {x^2} + x + 1 < {x^3} + {x^2} + x + 1 + 2\left( {{x^2} + x} \right) = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^3}\\ \Rightarrow {x^3} < {x^3} + {x^2} + x + 1 < {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \({y^3} = {x^3} + {x^2} + x + 1\)

\( \Rightarrow {x^3} < {y^3} < {\left( {x + 1} \right)^3}\), lại có \(x,y \in \mathbb{Z}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) Không tồn tại số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({x^3} < {y^3} < {\left( {x + 1} \right)^3}.\)

TH2: Xét \( - 1 \le x \le 0\) , lại có \(x \in \mathbb{Z}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\end{array} \right.\).

+) Với \(x = - 1 \Rightarrow {y^3} = {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - 1 + 1 = 0 \Rightarrow y = 0\,\,\,\left( {tm} \right).\)

+) Với \(x = 0 \Rightarrow {y^3} = 1 \Leftrightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên là:\(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1;\,\,0} \right),\,\,\,\left( {0;\,\,1} \right)} \right\}.\)

2) Cho các số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(ab + bc + ca = 1.\) Chứng minh rằng: \(A = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)\) là một số chính phương.

Theo đề bài ta có: \(ab + bc + ca = 1\).

\( \Rightarrow 1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2} = b\left( {a + c} \right) + a\left( {c + a} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {b^2} = \left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\\1 + {c^2} = \left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + a} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {a + c} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} \right]^2}\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Vậy \(A\) là một số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link