Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và có hai đường chéo \(AC,\,\,BD\)

Câu hỏi số 374334:

Vận dụng

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và có hai đường chéo \(AC,\,\,BD\) vuông góc với nhau tại \(I\) (\(I\) khác \(O\)). Kẻ đường kính \(CE\).

1. Chứng minh tứ giác \(ABDE\) là hình thang cân.

2. Chứng minh \(\sqrt {A{B^2} + C{D^2} + B{C^2} + D{A^2}} = 2\sqrt 2 R\).

3. Từ A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với \(CD\) lần lượt cắt \(BD\) tại \(F\), cắt \(AC\) tại \(K\). Tứ giác \(ABKF\) là hình gì?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374334

Phương pháp giải

1. Chứng minh \(AE//BD\) và \(\angle ABD = \angle EDB\).

2. Sử dụng các tính chất của hình thang cân và định lí Pytago trong tam giác vuông.

3. Chứng minh \(BKDE,\,\,AEDF\) là hình bình hành, từ đó suy ra \(BK = AF\).

Chứng minh \(ABKF\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(ABDE\) là hình thang cân.

Ta có: \(\angle CAE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AE \bot AC\).

Mà \(BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AE//BD\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABDE\) là hình thang (Tứ giác có 2 cạnh đối song song).

Ta có: \(\angle CDE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta CDE\) vuông tại \(D\).

Có: \(\angle CED = \angle CBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))

\( \Rightarrow {90^0} - \angle CED = {90^0} - \angle CBD \Rightarrow \angle DCE = \angle ACB\).

Mà \(sdcungDE = sdcungAB\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow sdcungDE = sdcungAB\\ \Rightarrow sdcungDE + sdcungAE = sdcungAB + sdcungAE\\ \Rightarrow sdcungAD = sdcungBE\end{array}\).

\( \Rightarrow \angle ABD = \angle EDB\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABDE\) là hình thang cân (Hình thang có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau).

2. Chứng minh \(\sqrt {A{B^2} + C{D^2} + B{C^2} + D{A^2}} = 2\sqrt 2 R\).

Do \(ABDE\) là hình thang cân (cmt) \( \Rightarrow AB = DE;\,\,AD = BE\).

Khi đó ta có \(A{B^2} + C{D^2} + B{C^2} + D{A^2} = D{E^2} + C{D^2} + B{C^2} + B{E^2}\).

Ta có \(\angle CBE = \angle CDE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta BCE\) vuông tại \(B\) và tam giác \(CDE\) vuông tại \(D\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}D{E^2} + C{D^2} = C{E^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\\B{C^2} + B{E^2} = E{C^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\end{array} \right. \Rightarrow D{E^2} + C{D^2} + B{C^2} + B{E^2} = 8{R^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + C{D^2} + B{C^2} + D{A^2} = 8{R^2} \Leftrightarrow \sqrt {A{B^2} + C{D^2} + B{C^2} + D{A^2}} = \sqrt {8{R^2}} = 2\sqrt 2 R\).

3. Từ A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với \(CD\) lần lượt cắt \(BD\) tại \(F\), cắt \(AC\) tại \(K\). Tứ giác \(ABKF\) là hình gì?

+) Xét tam giác \(BCD\) có \(K\) là trực tâm (giao của 2 đường cao) \( \Rightarrow DK \bot BC\).

Mà \(BE \bot BC\,\,\left( {\angle CBE = {{90}^0}} \right)\).

\( \Rightarrow DK//BE\) (từ vuông góc đến song song).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot CD\,\,\left( {gt} \right)\\DE \bot CD\,\,\left( {\angle CDE = {{90}^0}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BK//DE\) (từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác \(DEBK\) có \(\left\{ \begin{array}{l}DK//BE\\BK//DE\end{array} \right. \Rightarrow \) Tứ giác \(DEBK\) là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh cạnh đối song song) \( \Rightarrow BK = DE\,\,\left( 1 \right)\) (hai cạnh đối của hình bình hành).

+) Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot CD\,\,\left( {gt} \right)\\DE \bot CD\,\,\left( {\angle CDE = {{90}^0}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AF//DE\) (từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác \(AEDF\) có : \(\left\{ \begin{array}{l}AF//DE\\AE//DF\,\,\left( {AE//BD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh cạnh đối song song) \( \Rightarrow AF = DE\,\,\left( 2 \right)\) (hai cạnh đối của hình bình hành).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BK = AF\,\,\left( { = DE} \right)\).

Xét tứ giác \(ABKF\) có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AF \bot CD\\BK \bot CD\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AF//BK\\AF = BK\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABKF\) là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Lại có \(AC \bot DI \Rightarrow AK \bot BF \Rightarrow ABKF\) là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link