Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc \(BAC\,\,\left( {D \in BC} \right)\). Từ D kẻ các đường

Câu hỏi số 374385:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc \(BAC\,\,\left( {D \in BC} \right)\). Từ D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt AC, AB tại E và F.

a) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình thoi.

b) Trên tia AB lấy điểm G sao cho F là trung điểm của AG. Chứng minh tứ giác EFGD là hình bình hành.

c) Gọi I là điểm đối xứng của D qua F, tia IA cắt tia DE tại K. Gọi O là giao điểm của AD và EF. Chứng minh G đối xứng với K qua O.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADGI là hình vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374385

Phương pháp giải

a) Dùng dấu hiện nhận biết hình bình thoi.

b) Dùng dấu hiện nhận biết hình bình hành.

c) Dùng tính chất của hình bình hành, hình thoi để giải quyết bài toán.

d) Dùng dấu hiệu nhận biết của hình vuông.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(AEDF\) ta có:

\(DE\,{\rm{//}}\,FA,\,\,DF\,{\rm{//}}\,EA\,\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AEDF\) nên là hình bình hành (dhnb).

Lại có \(AD\) là phân giác của \(\angle FAE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AEDF\) là hình thoi (dhnb). (đpcm)

b) Ta có: \(AEDF\) là hình thoi (cmt)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DE//AF\\DE = AF\end{array} \right.\) (tính chất)

Xét tứ giác \(DEFG\) có: \(DE = GF\left( { = FA} \right),\,\,DE\,{\rm{//}}\,GF\)

\( \Rightarrow DEFG\) là hình bình hành. (dhnb).

c) Vì \(FA = FG\,\,\,\left( {gt} \right),\,\,FI = FD\,\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(IADG\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow IA\,{\rm{//}}\,DG\) (tính chất) hay \(AK\,{\rm{//}}\,DG\).

Lại có \(DK\,{\rm{//}}\,GA\,\,\,\left( {do\,\,DE//AB} \right)\)

\( \Rightarrow AKDG\) là hình bình hành (dhnb).

Mà \(O\) là trung điểm của \(AD\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(GK.\) (hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Vậy \(K\) đối xứng với \(G\) qua \(O.\) (đpcm).

d) Tứ giác \(IADG\) là hình bình hành (cmt).

Ta có: \(AEDF\) là hình thoi \( \Rightarrow AD \bot EF.\)

Mà \(EFGD\) là hình bình hành \( \Rightarrow DG//EF\)

\( \Rightarrow AD \bot GD\) (từ vuông góc đến song song).

\( \Rightarrow IADG\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow IADG\) là hình vuông \( \Leftrightarrow AG \bot DI \Leftrightarrow AG \bot CA\) (Vì \(DI\,{\rm{//}}\,CA\))

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) thì \(IADG\) là hình vuông.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link