Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x

Câu hỏi số 374573:

Vận dụng

Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\a\sin x + b\cos x\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 0\).

A. \(a = 1,b = 1\)

B. \(a = - 1,b = 1\)

C. \(a = - 1,b = - 1\)

D. \(a = 0,b = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374573

Phương pháp giải

+) Trước hết, tìm điều kiện để hàm số liên tục tại x = 0.

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.

+) Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow a = 1.\)

Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\) .

Giải chi tiết

Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x = 1.

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right) = 1 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\sin x + b\cos x} \right) = b\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1\)

Khi đó ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + 1} \right) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a\sin x + \cos x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}} \right) = a\end{array}\)

Để tồn tại \(f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow a = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.