Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua

Câu hỏi số 375124:

Vận dụng cao

Người ta cần cắt một khối lập phương thành hai khối đa diện bởi một mặt phẳng đi qua \(A\) và lần lượt cắt \(BB',\,\,CC',\,\,DD'\) tại \(M,\,\,N,\,\,P\)sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa điểm \(B\) bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại.Tính tỉ số \(k = \dfrac{{CN}}{{CC'}}.\)

A. \(k = \dfrac{5}{6}.\)

B. \(k = \dfrac{3}{4}.\)

C. \(k = \dfrac{4}{5}.\)

D. \(k = \dfrac{2}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375124

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất 2 đoạn thẳng song song để chứng minh góc bằng nhau.

Dùng tỉ số thể tích giữa các hình.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMNP} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AM\\\left( {AMNP} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = NP\\\left( {ABB'A'} \right)\parallel \left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM\parallel NP\).

CMTT ta có \(AP\parallel MN\).

\( \Rightarrow AMNP\) là hình bình hành \( \Rightarrow AM = PN\).

Trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kẻ \(PP'\parallel CD\,\,\left( {P' \in CC'} \right)\), ta có:

\(CDPP'\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow PD = P'C \Rightarrow \Delta APD = \Delta BP'C\).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta PP'N\) có:

\(\begin{array}{l}AB = PP'\\AM = PN\\\angle MAB = \angle NPP'\,\,\left( {AM\parallel PN,\,\,AB\parallel PP'} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta PP'N\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(APD.BP'C,\,\,AMB.PNP'\) là hai khối lăng trụ.

Gọi cạnh của hình lập phương là 1, ta có: \({V_{ABCDMNP}} = \dfrac{1}{3}\).

Ta có: \({V_{ABCDMNP}} = {V_{APD.BP'C}} + {V_{AMB.PNP'}} = \dfrac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l}{V_{APD.BP'C}} = CD.{S_{APD}} = CD.\dfrac{1}{2}.AD.PD = \dfrac{1}{2}PD\\{V_{AMB.PNP'}} = AD.{S_{PNP'}} = AD.\dfrac{1}{2}PP'.NP' = \dfrac{1}{2}NP'\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}PD + \dfrac{1}{2}NP' = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow PD + NP' = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow P'C + NP' = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow CN = \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(\dfrac{{CN}}{{CC'}} = \dfrac{2}{3}\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.