Cho a, b là các số dương thỏa mãn: ab + a + b = 3. Chứng minh: + + ≤ a2 + b2 + .

Câu hỏi số 3755:

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: ab + a + b = 3. Chứng minh: $\frac{3a}{b+1}$ + $\frac{3b}{a+1}$ + $\frac{ab}{a+b}$ ≤ a² + b² + $\frac{3}{2}$ .

A. ( x – 1 )( x² + x + 6 ) ≥ 0, với x ≥ 2

B. ( x – 3 )( x² + x + 6 ) ≥ 0, với x ≥ 2

C. ( x – 4)( x² + x + 6 ) ≥ 0, với x ≥ 2

D. ( x – 2 )( x² + x + 6 ) ≥ 0, với x ≥ 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3755

Giải chi tiết

Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3

=> ab = 3 - (a + b), (a + 1)(b + 1) = ab + a +b +1 = 4.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

a² + b² + $\frac{3}{2}$ ≥ $\frac{3a(a+1)+3b(b+1)}{(a+1)(b+1)}$ + $\frac{3}{a+b}$ - 1

⇔ a² + b² + $\frac{3}{2}$ ≥ $\frac{3}{4}$ (a² + b² )+ $\frac{3}{4}$ ( a + b ) + $\frac{3}{a+b}$ - 1

⇔ 4( a² + b² ) + 6 ≥ 3( a² + b² ) + 3( a + b ) + $\frac{12}{a+b}$ - 4

⇔ a² + b² - 3( a + b ) - $\frac{12}{a+b}$ + 10 ≥ 0 (A)

Đặt x = a + b > 0 => x² = ( a + b )² ≥ 4ab = 4( 3 - x )

=> x² + 4x - 12 ≥ 0 => x ≤ - 6 hay x ≥ 2 => x ≥ 2 ( vì x > 0 )

x² = a² + b² + 2ab => a² + b²= x² – 2( 3 – x ) = x² + 2x - 6

Thế x như trên (A) ta thành

x² – x - $\frac{12}{x}$ + 4 ≥ 0, với x ≥ 2

⇔ x³ – x² + 4x – 12 ≥ 0, với x ≥ 2

⇔ ( x – 2 )( x² + x + 6 ) ≥ 0, với x ≥ 2 (hiển nhiên đúng)

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.