Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bàng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi số 3754:

A. x = $\sqrt{\frac{3}{3}}$

B. x = $\sqrt{\frac{3}{2}}$

C. x = $-\sqrt{\frac{3}{2}}$

D. x = $-\sqrt{\frac{3}{3}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3754

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB. Do các tam giác ABD và ABC cân nên:

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD).

Suy ra:V_ABCD = V_A.MCD + V_B.MCD = $\frac{1}{3}$ AM. S_MCD + $\frac{1}{3}$ BM. S_MCD = $\frac{1}{3}$ AB. S_MCD .

Xét tam giác MCD ta có:

MC = MD = $\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ = $\dpi{100} \sqrt{\frac{4-x^{2}}{4}}$ .

Gọi H là trung điểm của CD, ta có MH ⊥ CD.

Do đó MH = $\sqrt{MC^{2}-CH^{2}}$ = $\dpi{100} \sqrt{\frac{3-x^{2}}{4}}$ .

$\dpi{100} V=\frac{1}{12}x\sqrt{3-x^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

$x\sqrt{3-x^{2}}$ ≤ $\frac{x^{2}+3-x^{2}}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

x = $\dpi{100} \sqrt{3-x^{2}}$ ⇔ x = $\sqrt{\frac{3}{2}}$

Vậy thể tích khối đa diện đã đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

x = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Chú ý: có thể tính thể tích khối đa diện ABCD bằng cách kẻ đường cao DH từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.