Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức + + ≤ 1.

Câu hỏi số 3759:

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ + $\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}$ + $\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}$ ≤ 1.

A. a + b = c

B. a - b = c

C. a + b + c

D. a = b = c.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3759

Giải chi tiết

Trước hết chứng minh với a, b là các số dương:

( a + b )( a + c ) - ( $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{ac}$ )² = a² + bc - 2a $\sqrt{bc}$ = ( a - $\sqrt{bc}$ )² ≥ 0

=> ( a + b )( a + c ) ≥ ( $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{ac}$ )²

=> $\sqrt{(a+b)(a+c)}$ ≥ $\sqrt{ab}$ + $\sqrt{ac}$ ;

Dấu bằng xảy ra khi a = $\sqrt{bc}$
=> $\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ ≤ $\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}$ = $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ (1)

Hoàn toàn tương tự:

$\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}$ ≤ $\frac{b}{b+\sqrt{bc}+\sqrt{ba}}$ = $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a}}$ (2)

Dấu bằng xảy ra khi b = $\sqrt{ac}$ ;

$\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}$ ≤ $\frac{c}{c+\sqrt{ca}+\sqrt{cb}}$ = $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ (3)

Dấu bằng xảy ra khi c = $\sqrt{ab}$ . Từ (1), (2) và (3) suy ra :

$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ + $\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}$ + $\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}$ ≤ 1
Dấu "=" xảy ra khi a² = bc, b² = ac, c² = ab => a³ = b³ ; b³ = c³ => a = b = c.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.