Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 376495:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biều thức \(P = a\sqrt {{b^3} + 1} + b\sqrt {{c^3} + 1} + c\sqrt {{a^3} + 1} \).

A. \(\max P = 3\)

B. \(\max P = 4\)

C. \(\max P = 5\)

D. \(\max P = 6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376495

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Cô-si cho các số dương.

Giải chi tiết

Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm nên áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a\sqrt {{b^3} + 1} = a\sqrt {\left( {b + 1} \right)\left( {{b^2} - b + 1} \right)} \le a.\frac{{b + 1 + {b^2} - b + 1}}{2} = \frac{{a\left( {{b^2} + 2} \right)}}{2} = a + \frac{{a{b^2}}}{2}\)

Tương tự ta có: \(b\sqrt {{c^3} + 1} \le b + \frac{{b{c^2}}}{2};\,\,c\sqrt {{a^3} + 1} \le c + \frac{{c{a^2}}}{2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}P = a\sqrt {{b^3} + 1} + b\sqrt {{c^3} + 1} + c\sqrt {{a^3} + 1} \\\,\,\,\, \le \left( {a + b + c} \right) + \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{2} = 3 + \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{2}\end{array}\)

Vì vai trò của \(a,\,\,b,\,\,c\) như nhau nên ta giả sử: \(a \le b \le c\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {b^2} + ac \le ab + bc\\ \Rightarrow a{b^2} + {a^2}c \le {a^2}b + abc\\ \Rightarrow a{b^2} + {a^2}c + b{c^2} \le {a^2}b + abc + b{c^2} = b\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right)\end{array}\)

Vì \(ac \ge 0\) nên:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a{b^2} + {a^2}c + b{c^2} \le b\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right) \le b\left( {{a^2} + 2ac + {c^2}} \right) = b{\left( {a + c} \right)^2}\\b{\left( {a + c} \right)^2} = 4b.\frac{{a + c}}{2}.\frac{{a + c}}{2} \le 4.{\left( {\frac{{b + \frac{{a + c}}{2} + \frac{{a + c}}{2}}}{3}} \right)^3} = 4{\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} = 4\end{array}\)

Suy ra \(a{b^2} + {a^2}c + b{c^2} \le 4 \Rightarrow P \le 3 + \frac{4}{2} = 5.\)

Vậy \(\max P = 5\) khi và chỉ khi \(a = 0,\,\,b = 1,\,\,c = 2\) và các hoán vị.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link