Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên đoạn thẳng \(AO\) lấy điểm
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên đoạn thẳng \(AO\) lấy điểm \(H\) bất kì (\(H\) không trùng với \(A\) và \(O\)), kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\), trên \(d\) lấy điểm \(C\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), từ \(C\) kẻ hai tiếp tuyến \(CM\) và \(CN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M,\,\,N\) là các tiếp điểm và \(M\) thuộc nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(A\)). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(CM\), \(CN\) với đường thẳng \(AB\). Đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc với \(AB\) cắt \(MN\) tại \(K\). Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(CP\) và \(CQ\) lần lượt tại \(D\) và \(E\).
1) Chứng minh tứ giác \(OMDK\) là tứ giác nội tiếp và \(HC\) là tia phân giác của \(\angle MHN\)
2) Đường thẳng \(CK\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(PQ\).
3) Chứng minh ba đường thẳng \(PN\), \(QM\) và \(CH\) đồng quy.
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác \(OMDK\) có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\).
Chứng minh 5 điểm \(O,\,\,H,\,\,M,\,\,C,\,\,N\) cùng thuộc 1 đường tròn, sử dụng tính chất các góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau và tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh \(\angle MHC = \angle NHC\).
2) Chứng mính \(K\) là trung điểm cuae \(DE\).
Áp dụng định lí Ta-lét.
3) Gọi \(J = QM \cap CH\), chứng minh \(PN\) cũng đi qua \(J\).
1) Vì \(CM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(M \Rightarrow OM \bot CM \Rightarrow \angle OMD = {90^0}\).
Tương tự ta có: \(\angle ONC = {90^0}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AB\\AB\parallel DE\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot DE \Rightarrow \angle OKD = {90^0}\).
Xét tứ giác \(OMDK\) có \(\angle OMD + \angle OKD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OMDK\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
Tương tự ta chứng minh được tức giác \(OCMH\) và \(ONCH\) là các tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \) 5 điểm \(O,\,\,H,\,\,M,\,\,C,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle MHC = \angle MNC\\\angle NHC = \angle NMC\end{array} \right.\) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau).
Mà \(CM = CN\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta CMN\) cân tại \(C\).
\( \Rightarrow \angle MNC = \angle NMC\) (Hai góc ở đáy) \( \Rightarrow \angle MHC = \angle NHC\)
\( \Rightarrow HC\) là tia phân giác của \(\angle MHN\)(đpcm)
2) Vì tứ giác \(OMDK\) là tứ giác nội tiếp \(\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle OMK = \angle ODK\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OK\)).
Chứng minh được tứ giác \(OKNE\) nội tiếp \(\left( {\angle OKE = \angle ONE = {{90}^0}} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OEK = \angle ONK\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OK\)).
Mà \(OM = ON \Rightarrow \Delta OMN\) cân tại \(O\).
\( \Rightarrow \angle OMK = \angle ONK \Rightarrow \angle ODK = \angle OEK\)
\( \Rightarrow \Delta ODE\) cân tại \(O\).
Có \(OK \bot DE \Rightarrow K\) là trung điểm của \(DE\) (Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là đường trung tuyến).
\( \Rightarrow DK = EK\).
Vì \(DK\parallel PI \Rightarrow \frac{{CK}}{{CI}} = \frac{{DK}}{{PI}}\) (Định lí Ta-lét).
Vì \(EK\parallel QI \Rightarrow \frac{{CK}}{{CI}} = \frac{{EK}}{{QI}}\) (Định lí Ta-lét).
\( \Rightarrow \frac{{EK}}{{QI}} = \frac{{DK}}{{PI}}\,\,\left( { = \frac{{CK}}{{CI}}} \right).\)
Mà \(EK = DK\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow QI = PI \Rightarrow I\) là trung điểm của \(PQ\).
3)
- Gọi \(QM \cap CH = \left\{ J \right\}\)
- Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(PQ\), cắt đường thẳng \(QM\) tại \(F\).
Gọi \(PJ \cap FC = \left\{ G \right\};\,\,\,PJ \cap CQ = \left\{ {N'} \right\}\). Ta chứng minh \(N \equiv N'.\)
- Xét \(\Delta POM\) và \(\Delta PCH\) có:
\(\angle CPH\)chung;
\(\angle PMO = \angle PHC = {90^0};\)
\( \Rightarrow \Delta POM \sim \Delta PCH\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{PH}}{{PM}} = \frac{{CH}}{{OM}}\)
Tương tự ta có \(\Delta QON \sim \Delta QCH\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{ON}}{{CH}} = \frac{{QN}}{{QH}}.\)
- Mà \(OM = ON,\,\,CM = CN\) nên:
\(\frac{{PH}}{{HQ}}.\frac{{QN}}{{CN}}.\frac{{CM}}{{MP}} = \frac{{PH}}{{PM}}.\frac{{QN}}{{QH}}.\frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{CH}}{{OM}}.\frac{{ON}}{{CH}}.\frac{{CM}}{{CN}} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\).
Vì \(FG\parallel PQ \Rightarrow \frac{{PH}}{{CG}} = \frac{{HQ}}{{CF}}\,\,\left( { = \frac{{HJ}}{{JC}}} \right);\,\,\,\,\frac{{QN'}}{{N'C}} = \frac{{PQ}}{{CG}};\,\,\,\frac{{CM}}{{MP}} = \frac{{CF}}{{PQ}}\)
\( \Rightarrow \frac{{PH}}{{HQ}} = \frac{{CG}}{{CF}}\).
\( \Rightarrow \)\(\frac{{PH}}{{HQ}}.\frac{{QN'}}{{N'C}}.\frac{{CM}}{{MP}} = \frac{{CG}}{{CF}}.\frac{{PQ}}{{CG}}.\frac{{CF}}{{PQ}} = 1\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{PH}}{{HQ}}.\frac{{QN}}{{CN}}.\frac{{CM}}{{MP}} = \frac{{PH}}{{HQ}}.\frac{{QN'}}{{N'C}}.\frac{{CM}}{{MP}} = 1 \Rightarrow \frac{{QN}}{{CN}} = \frac{{QN'}}{{N'C}}\)
\( \Rightarrow \frac{{QN}}{{CN}} + 1 = \frac{{QN'}}{{N'C}} + 1 \Rightarrow \frac{{QC}}{{CN}} = \frac{{QC}}{{N'C}}\)
\( \Rightarrow CN = CN' \Rightarrow N \equiv N' \Rightarrow PJ\) đi qua \(N\).
Mà \(CH,\,\,QM\) cùng đi qua \(J\).
Vậy \(PN,\,\,QM,\,\,CH\) đồng quy tại \(J\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
