Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi G là trọng tâm ∆SAC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SDC) bằng . Tính khoảng cách từ O đến (SCD), trong đó O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích của SABCD.

Câu hỏi số 3771:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi G là trọng tâm ∆SAC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SDC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ . Tính khoảng cách từ O đến (SCD), trong đó O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích của SABCD.

A. d= $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ V= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$ (đvtt)

B. d= $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ V= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ (đvtt)

C. d= $\frac{2a\sqrt{3}}{7}$ V= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ (đvtt)

D. d= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ V= $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$ (đvtt)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3771

Giải chi tiết

O=AC ∩ BD. Gọi I là trung điểm CD. Nối OI, SI => OI⊥CD; SI⊥CD

=> CD⊥(SOI). Kẻ OH⊥SI (H∈ SI) => OH⊥ (SDC)

=> OH=d(O;(SDC))

GK⊥SI (K∈ SI) => GK⊥ (SCD)

=> GK=d(G;(SCD))

∆SOH~∆SGK

=> $\frac{GK}{OH}$ = $\frac{SG}{SO}$ = $\frac{2}{3}$ => $\frac{d(G;(SCD))}{d(O;(SCD))}$ = $\frac{2}{3}$

=> $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ . $\frac{3}{2}$ =d(O;(SCD)) => d(O;(SCD))= $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

∆SOI~∆OHI => $\frac{SO}{OH}$ = $\frac{SI}{OI}$ => SO.OI=OH.SI => SO= $\frac{OH.SI}{OI}$ .

Có: OH= $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ ; OI= $\frac{a}{2}$ ; ∆SOI có SI= $\sqrt{SO^{2}+OI^{2}}$ = $\sqrt{SO^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$

Vậy . $\frac{a}{2}$ SO= $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ . $\sqrt{SO^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$ <=> SO²= $\frac{3}{4}$ ( SO²+ $\frac{a^{2}}{4}$ )

=> SO²= $\frac{3a^{2}}{4}$ => SO= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy V_SABCD= $\frac{1}{3}$ S_ABCD.SO= $\frac{1}{3}$ .a². $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ (đvtt)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.