Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a√2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1.Tính .

Câu hỏi số 3783:

Cho lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA₁ = a√2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA₁ và BC₁ . Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA₁ và BC₁.Tính $V_{MA_{1}BC_{1}}$ .

A. $V_{MA_{1}BC_{1}}$ = $\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$

B. $V_{MA_{1}BC_{1}}$ = $\frac{a^{2}\sqrt{2}}{4}$

C. $V_{MA_{1}BC_{1}}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$

D. $V_{MA_{1}BC_{1}}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3783

Giải chi tiết

Chọn hệ trục Oxyz sao cho

A(0 ; 0 ; 0); C(-a ; 0 ; 0); B(0 ; a ; 0); A₁ (0 ; 0 ; a√2 )

=> M(0 ; 0 ; $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ ); C₁ (-a ; 0 ; a√2); N( $-\frac{a}{2}$ ; $\frac{a}{2}$ ; $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ );

$\overrightarrow{BC_{1}}$ = (-a ; -a ; a√2); $\overrightarrow{MN}$ ( $-\frac{a}{2}$ ; $\frac{a}{2}$ ; 0); $\overrightarrow{AA_{1}}$ = (0 ; 0 ; a√2 )

Ta có: $\overrightarrow{MN}$ . $\overrightarrow{BC_{1}}$ = $\overrightarrow{MN}$ . $\overrightarrow{AA_{1}}$ = 0

Vậy MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA và BC₁.

Ta có: $\overrightarrow{MA_{1}}$ = ( 0 ; 0 ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

$\overrightarrow{MB}$ = a( 0 ; 1 ; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

$\overrightarrow{MC_{1}}$ = a( -1 ; 0 ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

[ $\overrightarrow{MA_{1}}$ , $\overrightarrow{MB}$ ] = a² ( $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; 0 ; 0)

=> | $\overrightarrow{MA_{1}}$ , $\overrightarrow{MB}$ ] $\overrightarrow{MC_{1}}$ | = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

=> $V_{MA_{1}BC_{1}}$ = $\frac{1}{6}$ | $\overrightarrow{MA_{1}}$ , $\overrightarrow{MB}$ ] $\overrightarrow{MC_{1}}$ | = $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$ (đvtt)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.