Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) ta kẻ hai tiếp tuyến \(AM\) và \(AN\)

Câu hỏi số 378135:

Vận dụng

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) ta kẻ hai tiếp tuyến \(AM\) và \(AN\) đến đường tròn (\(M\) và \(N\) là tiếp điểm). Đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn tại điểm \(P.\) Đường thẳng vuông góc với \(OA\) tại \(O\) cắt \(AN\) tại \(C\) và cắt \(AM\) tại \(B.\)

1) Chứng minh bốn điểm \(A,\,\,M,\,\,O,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(CP\) là tiếp tuyến tại \(P\) với đường tròn. Suy ra \(MB = CN.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378135

Phương pháp giải

1) Bốn điểm cùng thuộc 1 đường tròn khi nó cùng cách đều 1 điểm.

2) Chứng minh \(\angle OPC = {90^0}\)thông qua hai tam giác bằng nhau.

Giải chi tiết

1) Chứng minh bốn điểm \(A,\,\,M,\,\,O,\,\,N\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi I là trung điểm của AO

Ta có: AM,AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N

\( \Rightarrow \Delta AMO,\Delta ANO\)vuông tại M và N.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IM = IA = IO = \frac{{AO}}{2}\\IN = IA = IO = \frac{{AO}}{2}\end{array} \right.\left( {t/c} \right)\)\( \Rightarrow IM = IA = IN = IO\)\( \Rightarrow \)A,M,O,N cùng thuộc đường tròn tâm I (t/c)

Vậy bốn điểm A,M,O,N cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(CP\) là tiếp tuyến tại \(P\) với đường tròn. Suy ra \(MB = CN.\)

+) Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta AMO = \Delta ANO\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \angle MOA = \angle NOA\)(t/c)(1)

Do \(AO \bot BC = \left\{ O \right\}\)(gt)

\( \Rightarrow \angle CON + \angle NOA = \angle AOC = {90^0}\)và \(\angle MOA + \angle MOB = \angle AOB = {90^0}\)(2)

Mặt khác: \(\angle MOB = \angle COP\)(hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1),(2) và (3) \( \Rightarrow \angle NOC = \angle COP\)(cùng phụ với các góc bẳng nhau).

Xét \(\Delta NOC\)và \(\Delta POC\)có: \(OC\,chung;\,ON = OP;\,\angle NOC = \angle POC\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta NOC = \Delta POC\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ONC = \angle OPC = {90^0}\)\( \Rightarrow OP \bot PC\)

Vậy CP là tiếp tuyến tại P với đường tròn.

+) Ta có: \(\Delta NOC = \Delta POC\)\( \Rightarrow CN = CP\)(*)

Xét \(\Delta MOB\) và \(\Delta POC\)có: \(OM = OP;\angle MOB = \angle POC;\angle OMB = \angle OPC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta MOB = \Delta POC\left( {g - c - g} \right)\)\( \Rightarrow BM = CP\)(**)

Từ (*) và (**)\( \Rightarrow BM = CN\)

Vậy \(MB = CN\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link