Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), có \(SA\) vuông góc với \(\left(

Câu hỏi số 378689:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), có \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), (tham khảo hình vẽ bên dưới). Để thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) thì giá trị \(\tan \alpha \) bằng

A. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\tan \alpha = 2\)

C. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\tan \alpha = \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378689

Phương pháp giải

- Tính \(SA\) dựa vào thể tích của khối chóp \({V_{S.ABC}}\).

- Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) để tìm \(\tan \alpha \).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Do \(\Delta ABC\) là tam giác đều nên \(AM \bot BC\) .

Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \alpha = \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}SA.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}SA = \dfrac{{3a}}{2}\)

Lại có: \(AM = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (Do tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\)).

Xét tam giác vuông \(SAM\) có: \(\tan \alpha = \tan \angle SMA = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}}}{{\sqrt 3 a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.