Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x - 2018\) đạt cực đại tại \(x = 1\)

Câu hỏi số 378693:

Vận dụng

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x - 2018\) đạt cực đại tại \(x = 1\) khi \(m = \alpha \) (với \(\alpha \in \mathbb{Z}\)). Tính \(P = 2\alpha + 2018\).

A. \(P = 2018\)

B. \(P = 2012\)

C. \(P = 2017\)

D. \(P = 2020\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378693

Phương pháp giải

Hàm đa thức \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = a\) khi và chỉ khi \(x = a\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\) và qua điểm \(x = a\) thì \(y'\) đổi dấu từ \(\left( + \right)\) sang \(\left( - \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = {x^2} + 2mx + \left( {{m^2} - 4} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 1\) nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

Do đó: \({1^2} + 2m.1 + {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 1\end{array} \right.\).

Nếu \(m = - 3\) thì \(y' = {x^2} - 6x + 5 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)\).

Suy ra khi đi qua điểm \(x = 1\) thì \(y'\) đổi dấu từ \(\left( + \right)\) sang \(\left( - \right)\) hay \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số.

Nếu \(m = 1\) thì \(y' = {x^2} + 2x - 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\).

Suy ra khi đi qua điểm \(x = 1\) thì \(y'\) đổi dấu từ \(\left( - \right)\) sang \(\left( + \right)\) hay \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy \(m = - 3\) hay \(\alpha = - 3 \Rightarrow P = 2\alpha + 2018 = 2012\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.